#141 正8面体の中のベクトル平衡体と正20面体…試解提示編

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【問題】 上図の大きな正3角形の中の小さな2つの正3角形の(1)辺長比、(2)面積の差、そして(3)2者間の回転ずれを求めよ。
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【試解】

1辺2の正3角形ABCの各中点をD,E,Fとする。
またこの正3角形ABCの各辺を(反時計回り方向に)黄金分割する点をそれぞれd,e,fとする。

ここで直角3角形OEeを考える。
直角3角形ABEの辺長比は1:2:√3であり、AE:OE=3:1なのでOEは1/√3である。

BEは1であり、点eはBCの黄金分割点だから、Beは2/φである。
Eeはこの2者の差だから(2/φ−1=)1/φ^3となる。

ピュタゴラスの定理よりOE
+Ee=OeだからOeは

√{(1/√3)
+(1/φ}=√(1/3+1/φ^6)
=√(1/3+0.05572809)=0.623747884

ここで△DEFと△defは相似であり、
またOE:Oe=DE:deかつDE=1だから
√(1/3+1/φ
)/(√3/3)=0.623747884/0.577350269=1.080363027

したがって以下のようになる(ただし有効桁数小数点以下3桁までとする)。

(1)△EDFの辺長:△edfの辺長=1:1.080
(2)△EDFの面積:△edfの面積=0.866:1.167=1:1.348=0.742:1
(3)△EDFと△edfの回転角度差⇒22.239度

(以上。計算及び監修してくれたふうさん、Sさんに深く感謝いたします。)

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■なおこの問題を、「この大きな正3角形は正8面体の1面であり、2つの正3角形はそれぞれこの正8面体に内接するベクトル平衡体と正20面体の正3角形面である」という条件に敷衍展開すると、以下のようなことが分かりました。もちろんこれらは現時点では数学的論理とは関係のない落としどころですので、上述の問題とは明確な区別をお願いいたします。

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1辺2の正8面体の体積→   3.771
内接するベクトル平衡体の体積→2.357
内接する正20面体の体積→   2.748

1辺aの正8面体の体積は →√2/3・a

正8面体とそれに内接する正20面体の体積比は8:5(

1辺aの正20面体の体積は →5(3+√5)/12・a


)正8面体の中接球とベクトル平衡体の外接球が共有しているということ。
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■上の条件より以下のことが分かる。正8面体に内接するベクトル平衡体の体積比は黄金比に近似していること。また正8面体に内接する正20面体の体積比は、正8面体を1000とした場合3の6乗、もしくは地球の2年の日数(−1)と同型になるということ。さらにこの正8面体に共に内包されているベクトル平衡体と正20面体の体積比は、ベクトル平衡体を100とした場合、正20面体は水星の会合周期日と同型になる。

つまり

(4)正8面体に内接するベクトル平衡体の体積比は黄金比に近似している。
(5)正8面体に内接する正20面体の体積比は1000:729である。
   正8面体を1000とした場合3
、もしくは地球の2年の日数(−1)と同型になる。
(6)このベクトル平衡体と正20面体の体積比は100:116である。
   ベクトル平衡体を100とした場合、正20面体は水星の会合周期日と同型になる。

2010.07.23 Friday