#141 正８面体の中のベクトル平衡体と正20面体…試解提示編

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【問題】 上図の大きな正３角形の中の小さな２つの正３角形の（１）辺長比、（２）面積の差、そして（３）２者間の回転ずれを求めよ。
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【試解】

１辺２の正３角形ＡＢＣの各中点をＤ,Ｅ,Ｆとする。
またこの正３角形ＡＢＣの各辺を（反時計回り方向に）黄金分割する点をそれぞれｄ,ｅ,ｆとする。

ここで直角３角形ＯＥｅを考える。
直角３角形ＡＢＥの辺長比は１：２：√３であり、ＡＥ：ＯＥ＝３：１なのでＯＥは１／√３である。

ＢＥは１であり、点ｅはＢＣの黄金分割点だから、Ｂｅは２／φである。
Ｅｅはこの２者の差だから（２／φ−１＝）１／φ^3となる。

ピュタゴラスの定理よりＯＥ^２＋Ｅｅ^２＝Ｏｅ^２だからＯｅは

√｛（１／√３）^２＋（１／φ^３）^２｝＝√（１／３＋１／φ^6）
＝√（１／３＋0.05572809）＝0.623747884

ここで△ＤＥＦと△ｄｅｆは相似であり、
またＯＥ：Ｏｅ＝ＤＥ：ｄｅかつＤＥ＝１だから
√（１／３＋１／φ^６）／（√３／３）＝0.623747884／0.577350269＝1.080363027

したがって以下のようになる（ただし有効桁数小数点以下３桁までとする）。

（１）△ＥＤＦの辺長：△ｅｄｆの辺長＝１：1.080
（２）△ＥＤＦの面積：△ｅｄｆの面積＝0.866：1.167＝１：1.348＝0.742：１
（３）△ＥＤＦと△ｅｄｆの回転角度差⇒22.239度

（以上。計算及び監修してくれたふうさん、Ｓさんに深く感謝いたします。）

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■なおこの問題を、「この大きな正３角形は正８面体の１面であり、２つの正３角形はそれぞれこの正８面体に内接するベクトル平衡体と正20面体の正３角形面である」という条件に敷衍展開すると、以下のようなことが分かりました。もちろんこれらは現時点では数学的論理とは関係のない落としどころですので、上述の問題とは明確な区別をお願いいたします。

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１辺２の正８面体の体積→　　　3.771
内接するベクトル平衡体の体積→2.357
内接する正20面体の体積→　　　2.748

１辺ａの正８面体の体積は　→√２／３・ａ^３
正８面体とそれに内接する正20面体の体積比は８：５（※）
１辺ａの正20面体の体積は　→５（３＋√５）／12・ａ^３

（※）正８面体の中接球とベクトル平衡体の外接球が共有しているということ。
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■上の条件より以下のことが分かる。正８面体に内接するベクトル平衡体の体積比は黄金比に近似していること。また正８面体に内接する正20面体の体積比は、正８面体を1000とした場合３の６乗、もしくは地球の２年の日数（−１）と同型になるということ。さらにこの正８面体に共に内包されているベクトル平衡体と正20面体の体積比は、ベクトル平衡体を100とした場合、正20面体は水星の会合周期日と同型になる。

つまり

（４）正８面体に内接するベクトル平衡体の体積比は黄金比に近似している。
（５）正８面体に内接する正20面体の体積比は1000：729である。
　　 正８面体を1000とした場合３^２、もしくは地球の２年の日数(−１)と同型になる。
（６）このベクトル平衡体と正20面体の体積比は100：116である。
　　 ベクトル平衡体を100とした場合、正20面体は水星の会合周期日と同型になる。

2010.07.23 Friday