#126 正６角形の中に見る正８－６相貫体の系


■正４面体は面点変換すると逆向きの正４面体となる。これはミクロ・マクロ方向に正逆交互にどこまでも繰り返すのだが、この面点変換の流れの中から正逆２つの正４面体を取り出して相貫体にすると、ケプラーの星型８面体になる。この内の重畳部分が正８面体となり、外部頂点をつないで出来る形が正６面体だった。この場合の２つの正４面体の線長・面大・胞量は全く同じだが、ただ向きだけが逆向きだった。

■上図ではこのケプラーの星型８面体を中心にして、左右にこの２つの正４面体を配してある。このケプラーの星型８面体における２つの正４面体の重畳部分である正８面体を下に、各頂点を結んでできる正６面体を上に配してみた。この関係から分かるように、正８面体と正６面体は面点変換が可能な双対立体である。この場合の体積比は正８面体：正４面体：ケプラーの星型８面体：正６面体＝１：２：３：６となっている。

　　　

■そしてここでできた正６面体に、正８面体を拡大して中接球を共有させると、正８－６相貫体となる。この立体の正６面体と正８面体の重畳部分がベクトル平衡体となり、外部頂点をつないで出来る形が菱形12面体である。どちらの場合も相貫体をなす２つの立体の辺の数は同じであり、全て線の中央で直交している。正６面体と正８面体の辺長比は１：√２であり、体積比は６：８(＝３：４)となっている。

■なおこの正８－６相貫体の体積比は９であり、内部重畳部分のベクトル平衡体の体積比は５であり、各頂点を結んでできる菱形12面体の体積比は12となっている。すなわち体積６の正６面体を基準にしてみると、正８面体、正４面体、ケプラーの星型８面体、ベクトル平衡体、正６面体、正８面体、正８－６相貫体、菱形12面体の体積比は１：２：３：５：６：８：９：12と、整数ですっきり美しく見て取ることができる。

　　　

■なおここで正８－６相貫体の体積からベクトル平衡体の体積を引くと９－５＝４となり、菱形12面体の体積からベクトル平衡体の体積を引くと12－５＝７で、１から９までの数が出揃う。また正６面体の１辺を１とすると面の対角線は√２、立体対角線は√３となっていたが、この図の関係においてはベクトル平衡体の１辺は√２／２であり、正８面体の１辺は√２である。また菱形12面体の各面は対角線が１：√２であり、１辺は√３となっている。

■さて前回までは正６面体の立体対角線方向からその内部に、ベクトル平衡体、正４面体のペア、そして正６面体を２分割する正６角形を見てきたのだが、同じ視線からこの正６面体の外部にも突出してきている正８－６相貫体及び菱形12面体を見たら、どのような形になるかを見ていこう。私たち人間は普通両眼でモノを見、その視差で立体的に感知している。しかしこれまでどおり視線は単眼で、垂直面に平面投影して見るという前提は変わらない。

　　　

■上の図左は正８－６相貫体をそれと分かりやすい角度から見た図である。それなりに正６面体と正８面体の相貫具合や出っ張り引っ込みがわかる。そして右図が正６面体の立体対角線方向から見た図だが、この方向からだと突出している正６面体と正８面体の頂点が表裏で重なってしまい、ぴったり正６角形の中に納まってしまっている。内部に背後の補助線を多数描いたが、それでもこのまま背面の凹凸までイメージするのは難しいだろう。

　　

■そして上の図は菱形12面体である。左図はずらした角度からの図なので、背面の補助線を見ればそれとなく菱形をしている12面を数え上げることができる。しかしこれまで積み重ねてきた立体対角線の方向から見た右図は、そもそも体積が１／２である正６面体のシルエットでもある正６角形の中にぴったり納まり、背後の様々な線や面がその正６角形の線に重なっていて、上の正８－６相貫体と照らし合わせてみても、視覚的に分別できない。

■菱形12面体はこの方向から見ると、表側に面が３面、裏側に60度位相のずれた３面が見えるが、残る６面は正６角形の６辺に重なってしまっている。また線数は12本を数え上げることができるが、それらは全て背後に対の線が重なっている（菱形12面体の線数は24）。正６面体内部の諸立体だけでなく、その外側で接球を共有してできる正８面体、正８－６相貫体、菱形12面体もまた、正６角形の内部にぴったり納まり、単眼では立体感を喪失してしまう。

■これらのことは、普段の私たちが世界を見ている時の奥行き感覚と、実際は自分の視線というものは自分にとってただの点となっていることなどと重ね合わせて考えると面白いだろう。改めてこの方向から、今まで全く月並みで当たり前と捉えていた直交３軸で把握しているつもりの眼前の空間の意味が変わってくるかも知れない。

　　　

■ここまでを相貫体の系で辿りなおしてみよう。先ず正４面体－正４面体のカップリングで、ケプラーの星型８面体ができ、そこから内と外に正８面体と正６面体が見て取れた。次にその正８面体と正６面体をカップリングさせて正８－６相貫体を作り、その内と外にベクトル平衡体と菱形12面体を見出した。しかしこの系はこれで終わりというわけではない。今回はこれ以上の追求はしないが、上の図は双対立体であるベクトル平衡体と菱形12面体の相貫体である。

■ちなみにヌーソロジーではこの角度方向のことを「精神の通り道｣と表現している。ただの正６角形の中にどれだけのものを見ることができるか。ただの正６面体の中にどれだけの多面体を見ることができるか。真実のまなざしとは、見えるものと見えないものを同時に見ることのできるものの見方なのであろう。

2010.07.04 Sunday

（※）「ベクトル平衡体と菱形12面体の相貫体」の作図に当たっては、山口陸幸氏のＨＰの中の「双対多面体」を参考にさせていただきました。　http://www5d.biglobe.ne.jp/~MY55029/subA101.htm