#121 正６面体の中にスリ・ヤントラを見る？

■上の２つの図は実際にインドに存在するヤントラ(神秘的な幾何学図形)だ。左図のヤントラの中心にあるのは明らかに２つの正４面体が交差したケプラーの星型８面体である。そしてその台座となっている45度位相のずれた２つの正方形は、このケプラーの星型８面体から導き出される正６面体と正８面体が、面点変換でミクロ・マクロ方向にどこまでも連結する双対関係を表していると解することができる。

■また右図はインドで最もポピュラーなヤントラであり、通常瞑想の対象として用いられているスリ・ヤントラ（Sri Yantra）である。全て中央で交差して多重に重なる上向きの４つの３角形と下向きの５つの３角形が、シヴァとシャクティもしくは男性と女性を表すなどと様々な説明が加えられている。しかしここではそのことには触れず、この２つのヤントラを下敷きに正６面体内部を精査しよう。

　　　

■ヌーソロジーでは正８面体と正６面体の連続する面点変換の軸方向、つまり正６面体の立体対角線方向を次元連結を貫く「精神の通路」と表現している。この方向から覗いた多重の多面体の面は、上図右のスリ・ヤントラを連想させる。実際この立体対角線の視座を少し上下にずらすと、さらにこの図像イメージに似てくる。ここでは瞑想対象のヤントラ自身には言及せず、明晰な精神の通路を進もう。

■この正６面体は５つしかないプラトン立体の１つなので、内・中・外の３接球がある。正６面体の内接球は正８面体の外接球と共有している。また中接球（多面体の全ての線心が接している球）はベクトル平衡体の外接球と共有しており、外接球は正４面体、及びその自己相貫からなるケプラーの星型８面体の外接球とも共有している。なお正４面体の中接球は正８面体の外接球と共有関係にある。

　　　

■これらの関係をまとめて１つの正６面体の中に重ね、それを立体対角線方向から見た概念図が上図中央である。この立体対角線と視線方向を重ねた力線に対して垂直な平面を色分けしてあるが、それでも全体の立体内部が平面に投影されてしまうので分かりにくい。そこで少しだけ横に回りこんだところから見た２種類の概念図を、理解の助けになればと左右に添えておいた。

　　　

■では正６面体内部で３接球を共有する多面体の各面のうちで、立体対角線方向の視線と直交する多重の面を順次見ていこう。まずは手前の頂点に接続する３本の辺の中央を結んでできる逆向きの正３角形だ。これは正６面体の中接球が外接球を共有しているベクトル平衡体の１面だ。この立体対角線の重心を介して対称的な位置には、同じくベクトル平衡体の１面である上向きの正３角形がある。

　　　

■次に現れるのは、中心点から延びる３辺の端をつないでできる下向きの正３角形だ。これは正６角形と外接球を共有している正４面体の１面であり、最初の正３角形に比べて辺長は２倍、面積は４倍である。なお外接球を共有しつつ逆向きの正４面体の１面は、この正６面体の重心に対して対称的な位置に、逆向きの正３角形として現れている。この２つの正４面体の相貫体がケプラーの星型８面体である。

　　　

■上の図は２つの逆向きな正４面体が相貫してケプラーの星型８面体となることが分かりやすいように斜め横からの視座で描いた図である。立体対角線方向から見るとこの２つの垂直面は６芒星の形を成していることが分かる。またこの正３角形に内接する面積が１／４の２つの正３角形も６芒星の形に見える。これらはケプラーの星型８面体の重畳部分で、正６面体に内接している正８面体の２面でもある。

　　　

■これらはまた正８面体の２面であると共に、最初に見たベクトル平衡体の対の位置にある正逆の２面とも同じ面積の正３角形として重なって見えるだろう。それぞれ正６面体の重心に対して立体対角線上の対称的な所に位置し、逆・正・逆・正と２重の対になって小さな６芒星として見えている。そして重心の位置にはこの立体対角線に垂直な平面で正６面体を２分割する断面である正６角形がある。

　　　

■この正６角形は後でまた詳しく見る。上の図はこれまで述べてきたことを逆の順番で順次重ねてみたものである。１本の立体対角線には、＜正６面体端点−ベクトル平衡体の１面−正４面体Ａの１面（正８面体の１面を内包）−重心を中心として正６面体を２分割する正６面体−正４面体Ｂの１面（正８面体の１面を内包）−ベクトル平衡体の１面−正６面体端点＞という安定した内部構造があるということだ。

　　　

■これはもちろん立体対角線を逆側から見ても、また他の３本の立体対角線についても同様なことが言える。この面積比は＜０−１−４（重畳する１）−６−（重畳する１）４−１−０＞であり、辺長比は＜０−１−２（重畳する１）−１−（重畳する１）２−１−０＞である。切頭６面体や切頭８面体がさらにこの間に挟まる関係についても後日見直すことにして、今日はここまで。同時に見るということ。

2010.06.22 Tuesday