#121 正6面体の中にスリ・ヤントラを見る?


■上の2つの図は実際にインドに存在するヤントラ(神秘的な幾何学図形)だ。左図のヤントラの中心にあるのは明らかに2つの正4面体が交差したケプラーの星型8面体である。そしてその台座となっている45度位相のずれた2つの正方形は、このケプラーの星型8面体から導き出される正6面体と正8面体が、面点変換でミクロ・マクロ方向にどこまでも連結する双対関係を表していると解することができる。

■また右図はインドで最もポピュラーなヤントラであり、通常瞑想の対象として用いられているスリ・ヤントラ(Sri Yantra)である。全て中央で交差して多重に重なる上向きの4つの3角形と下向きの5つの3角形が、シヴァとシャクティもしくは男性と女性を表すなどと様々な説明が加えられている。しかしここではそのことには触れず、この2つのヤントラを下敷きに正6面体内部を精査しよう。

   


■ヌーソロジーでは正8面体と正6面体の連続する面点変換の軸方向、つまり正6面体の立体対角線方向を次元連結を貫く「精神の通路」と表現している。この方向から覗いた多重の多面体の面は、上図右のスリ・ヤントラを連想させる。実際この立体対角線の視座を少し上下にずらすと、さらにこの図像イメージに似てくる。ここでは瞑想対象のヤントラ自身には言及せず、明晰な精神の通路を進もう。

■この正6面体は5つしかないプラトン立体の1つなので、内・中・外の3接球がある。正6面体の内接球は正8面体の外接球と共有している。また中接球(多面体の全ての線心が接している球)はベクトル平衡体の外接球と共有しており、外接球は正4面体、及びその自己相貫からなるケプラーの星型8面体の外接球とも共有している。なお正4面体の中接球は正8面体の外接球と共有関係にある。

   


■これらの関係をまとめて1つの正6面体の中に重ね、それを立体対角線方向から見た概念図が上図中央である。この立体対角線と視線方向を重ねた力線に対して垂直な平面を色分けしてあるが、それでも全体の立体内部が平面に投影されてしまうので分かりにくい。そこで少しだけ横に回りこんだところから見た2種類の概念図を、理解の助けになればと左右に添えておいた。

   


■では正6面体内部で3接球を共有する多面体の各面のうちで、立体対角線方向の視線と直交する多重の面を順次見ていこう。まずは手前の頂点に接続する3本の辺の中央を結んでできる逆向きの正3角形だ。これは正6面体の中接球が外接球を共有しているベクトル平衡体の1面だ。この立体対角線の重心を介して対称的な位置には、同じくベクトル平衡体の1面である上向きの正3角形がある。

   


■次に現れるのは、中心点から延びる3辺の端をつないでできる下向きの正3角形だ。これは正6角形と外接球を共有している正4面体の1面であり、最初の正3角形に比べて辺長は2倍、面積は4倍である。なお外接球を共有しつつ逆向きの正4面体の1面は、この正6面体の重心に対して対称的な位置に、逆向きの正3角形として現れている。この2つの正4面体の相貫体がケプラーの星型8面体である。

   


■上の図は2つの逆向きな正4面体が相貫してケプラーの星型8面体となることが分かりやすいように斜め横からの視座で描いた図である。立体対角線方向から見るとこの2つの垂直面は6芒星の形を成していることが分かる。またこの正3角形に内接する面積が1/4の2つの正3角形も6芒星の形に見える。これらはケプラーの星型8面体の重畳部分で、正6面体に内接している正8面体の2面でもある。

   


■これらはまた正8面体の2面であると共に、最初に見たベクトル平衡体の対の位置にある正逆の2面とも同じ面積の正3角形として重なって見えるだろう。それぞれ正6面体の重心に対して立体対角線上の対称的な所に位置し、逆・正・逆・正と2重の対になって小さな6芒星として見えている。そして重心の位置にはこの立体対角線に垂直な平面で正6面体を2分割する断面である正6角形がある。

   


■この正6角形は後でまた詳しく見る。上の図はこれまで述べてきたことを逆の順番で順次重ねてみたものである。1本の立体対角線には、<正6面体端点−ベクトル平衡体の1面−正4面体Aの1面(正8面体の1面を内包)−重心を中心として正6面体を2分割する正6面体−正4面体Bの1面(正8面体の1面を内包)−ベクトル平衡体の1面−正6面体端点>という安定した内部構造があるということだ。

   


■これはもちろん立体対角線を逆側から見ても、また他の3本の立体対角線についても同様なことが言える。この面積比は<0−1−4(重畳する1)−6−(重畳する1)4−1−0>であり、辺長比は<0−1−2(重畳する1)−1−(重畳する1)2−1−0>である。切頭6面体や切頭8面体がさらにこの間に挟まる関係についても後日見直すことにして、今日はここまで。同時に見るということ。

2010.06.22 Tuesday