#108 立体の面点変換を回転に同型対応する

　

（※）上図右の絵はFrancene Hart の "ＫＡ" を借用。
http://www.webady.net/blog/17/11/2008/francene-hart-une-artiste-visionnaire-de-talent/

■下の図はヌーソロジストであるKohsen氏のブログ『CAVE　SYNDROME』の「４次元空間を通した精神球の点球への射影」と「プラトン座標における４階層の正６面体と正８面体」と体題された図を借用・加工したものである(「無断転載を命ず」系の逆手取り、感謝)。この図の４重の正６面体の内接球はまた、４重の正８面体の外接球でもある。この４重の接球を界面として４度の正８面体−正６面体の面点変換が行われている。

■そしてこの正６面体の８頂点及び正８面体の８つの面心を貫いて重心に至る８本の線もしくは４本の３重回転対称軸が、kohsen氏が次元連結線もしくは「意識の通る道」と表現するところのものである。より一般的にはシンプルに正６面体の中心角70.5度を形成する√３方向と表現されている。この図は借図なので矢印がみな重心方向を向いてたが、矢印の先を双方向にするために加筆してある。

■そしてkohsenが次元連結線もしくは精神の通路と表現しているところの、この正６面体の８頂点と正８面体の８つの面心及び重心を貫いている（８本に見えるが）４本の線は、一般的には正６面体の中心角70.5度を形成する３重回転対称軸、もしくはもっとシンプルに√３を表わす正６面体の立体対角線であると表現されている。この図では実際の大きさではなく関係性だけを見るために双方向を想定している。

　　　

(※)なお上左図の文字は、内側から「点球次元」「垂子次元」「垂質次元」「球精神次元」となっている。
http://noos.cocolog-nifty.com/cavesyndrome/2008/12/index.html　の20081201及び20081204より

■上右図には正８面体が描かれていないが、煩雑さを避けるために正８面体も間に挟まった４回の<正８面体−正６面体>の面点変換の操作として話を進めよう。最も小さい正６面体の中にある正８面体の外接球半径を基本の１とすれば、これを内接球とする正６面体の外接球半径は√３となる。この面点変換を４回繰り返すと、正６面体の外接球半径は√３：３：３√３：９となる。

■実際の大きさは関係ないと言ったが、様々なところに当てはめて見ることは可能なので、この関係性を太陽系に当てはめてみよう。まず正８面体の外接球半径を１天文単位(AU)と置いて、面点変換を繰り返す。３回繰り返すと３√３(≒5.1962)AU でほぼ木星の軌道長半径5.2026AUになり、４回だと９AUとなり土星の軌道長半径9.5549AU（ちなみに近日点距離は9.021AU）に近似する。

■肉眼で見える最遠の惑星である土星の公転軌道は、水星・金星・火星・木星・土星に太陽と月を加えて７曜とした有史以来の世界認識・宇宙観の辺縁でもあった。kohsen氏は未だ太陽系との関係に関しては総体的な見え方を公にはしていないが、それでもこの４重の面点変換が人間にとっての一般限界でもある「元止揚空間」とも対応しているのは興味深い。

　　　

■さて上図はベシカパイシスとそれを形成する対円が、90度回転する度にそれぞれ√３（もしくは一方向を正とすると逆方向の回転なら１／√３）ずつ拡大されていくことを示したものだ。当然４度回転すると360度回転して元に戻る。つまりａ，ｂは図中に描かれていないが、最小のベシカパイシスの短径だとすると、ａ：ｂ：：ＡＢ：：ＡＢ：ＣＤ：：ＣＤ：ＥＦ：：ＥＦ：ＧＨ＝１：√３：：√３：３：：３：３√３：：３√３：９ということだ。

■すなわち上述した４度の正８面体−正６面体の面点変換と４度の90°回転の１周とは同型対応視できるのである。なおこのホロニックなベシカパイシスの回転軸はそれぞれのレベルの対円の半径の１／２の位置にある。これはまた単位トーラス内部にあるヴィラルソー円＝ベシカパイシスも、対円半径の１／２の位置に回転対称軸及びトーラスの中心があったことも想起させる。

■このどちらにも、角度が30度・60度・90度で辺長比が１：２：√３の直角３角形が見て取れた。この「正多面体の面点変換を回転に同型対応する」という作業は、複素平面の虚数累乗と90度回転の関係や、黄金比の１／φ：１：：１：φ：：φ：φ^2の関係も連想させる。これはまだ２つのπを内包するトーラスを見ていく準備段階ではあるが、様々な美しさと秩序が予見できはしないだろうか。

　　　

■おまけ…日本の中にもベシカパイシスっぽいマークがあることを友人のふうさんが教■自己と他者もしくは自己と自己以外の全てとの関係を見ていく自己他者問題、もしくは自己Ａが自己Ａ'を語ると言う認識レベルの自己言及を超えゆく問題においても、既自己と未自己を「自己」として大きく括って統合しようとする視座の追及にしても、様々なレベルでそれぞれ対応するモデルを構築していく必要があるだろう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　（続く）

20100525 Tuesday