#094 球体のようなトーラスを見る

　

■さて大円と小円の半径比が２：１のトーラス、すなわち小円とトーラスの穴とが等しいトーラスに話を戻そう。今後、このトーラスの斜断面に現れるヴィラルソー円がベシカ・パイシスの形になるということはすでに話したが、今後この径比のトーラスを「単位トーラス」として話を進めていくことになる。

■上図の左右２つの図は、この単位円を真横と真上から見た概念図である。左図はこのトーラスの中心点を通って２つの小円断面に直交する方向にこの単位トーラスを切断した場合を表わし、色をつけた部分がその切断面である。

■また右図は、このトーラスの中心点を通って大円に直交する方向にこの単位トーラスを切断した場合を表わしており、色をつけた部分がその切断面である。左側の切断面を傾斜角０度とすると、右のそれはそれに直交する角度、すなわち90度となる。

　　　

■それでは単位トーラスのヴィラルソー円がちょうどベシカパイシスの形状になる時、その傾斜角は何度となるだろう。ここでは計算と証明は省略するが、それは30度である。そしてこの角度と小円の接線及び中心点が作る３角形は、辺長比が１：２：√３の直角３角形になる。

　　　

３Ｄ的なアニメーションでも、実際のトーラス切断面を水平方向や垂直方向その他の角度から自在に見る事ができないので、これまた概念図と説明で示すしかないのだが、上図の左右２つの図は、共に30度の角度でトーラスを切断したところである。

■左図は真横と真上から見た図であり、真上から見たヴィラルソー円は30度斜めから見ているので歪んでベシカパイシスには見えていない。右図は切断面に垂直方向から見ている状態を示している。ヴィラルソー円は互いの中心点と円周が交差の関係にあるベシカパイシスの形に見える。

■なお右図はトーラスを30度傾けた方向からの見え方なので、大円及びトーラスの形状も30度分歪んで楕円に見えている。中心円も同様に歪んで楕円になっている。これだけでは全体的把握ができない場合は、他のアニメーション等と合わせて見直す必要があるだろう。

■なおこのベシカパイシスの真ん中にある円の交差したところの長さは√３であり、いわゆるヌーソロジーが正８面体と正６面体の４度にわたる面点変換で示した、精神の通路の方向性として示した√３とは大いに関係があるのではなかろうか。実際そこは、トーラスの穴でもあるのだから。
　　　　　　　　　　　　　　　
■中心を通り、回転する切断面。上述の０度、30度、90度を含んでいる。以下のページににより大きなアニメーションあり。
　　　　　http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blue_cut-torus.gif　

20100508 Saturday