#080 ３：４：５の音階と直角３角形

　

■音階の４オクターブ＋３音を暦の１ヶ月と対応させた「月のフレーム」を見てみよう。左上の基音Ｃの振動数を１とすると、第２オクターブＧ、第３オクターブＣ及び同Ｅ（もしくはソ・ド・ミ）の振動数比は３：４：５になっていることが見て取れる。

■また基音のＣとＦ、Ａ（もしくはド・ファ・ラ）の振動数比は１（＝３／３）、４／３、５／３だから、３倍すれば分かるようにこちらも３：４：５となっている。ピアノの鍵を押せば倍音も鳴るように、振動数の比だけを考えれば、ド・ミ・ソ及びド・ファ・ラには３：４：５が含まれていることが分かる。

■３：４：５といえばピュタゴラスの直角３角形をすぐに連想できる。この辺長比３：４：５の直角３角形に振動数比の３：４：５を対応させて見る場合、弦長と振動数は反比例する関係にあるのでそのままでは混乱しかねないが、ここはシンプルに数値を長さに対応ざせていると考えてほしい。

　　　

■なお上図のように１つの単位円を描き、その中に直径比１／２の円を２つはめ込んだ時、その隙間には直径比１／３の円がぴったりはまり込む。この直径比１／１：１／２：１／３の円の中心を結ぶと、赤線で示したように辺長比が３：４：５のピュタゴラスの直角３角形が描かれる。

■ちなみにこのさらに隙間にぴったり収まる円の直径比は、最初の円の１／６である。この円のシンプルな組み合わせから様々な関係を取り出すことができる図の素型を「サークルゲノム」と名づけている。上の「月のフレーム」同様、他所でも諸概念と共に提示するモデルの入れ子である。

■一例として「内惑星10進法」として表現している概念をこのサークルゲノムの上に乗せて見ることにしよう。月の１日とは月面上で太陽が昇ってから沈み、再び日の出を迎えるまでの周期で、地球の１日を基本として表現すると29.5日となる。これを地球側から見ると月の満ち欠けの朔望周期に等しい。

　　　

■この月の１日（29.5日）を基本の１とすると、月の２日（59日）は水星の自転周期（58.5日）に近似し、月の３日（88.5日）は水星の１日（88日）に近似し、同４日（118日）は水星の会合周期（116日）及び金星上の１日（117日）に近似し、同５日（147.5日）は水星-金星の会合周期（144.5日）に近似する。

■月の６日（177日）は水星の上の１日（176日）に近似している。月の７日は隠れた７として表面化してこないが、月の８日（236日）は金星の自転周期243日と公転周期225日の平均日234日に近似し、月の９日(265.5日)はマヤの神聖暦ツォルキンの260日に近似している。月の12日が地球の太陰暦の１年354日である。

■この月の１日に当てはめた29.5日は、より正確には29.530589日として知られている。しかし実際の数値とのずれがより少なくなるのは、自然対数の底としても知られるネテピア数ｅ（2.718281828…）と円周率π（3.141592654…）の相加平均（ｅ＋π）／２＝5.8598874482／２＝2.9299937241…、もしくは相乗平均√（ｅπ）＝8.539734221／２＝2.922282365…の10倍を基本の１とした場合である。

■この辺りのことはまた別項でさらに詳しく言及したい。

201004.06 Tuesday