#079 正４面体は虚実の２重構造？

　

■正６面体を外側に面点変換すると、体積比9/2の正８面体になる。それをさらに面点変換すると、体積比27の正６面体になる。正８面体を外側に面点変換すると、体積比６の正６面体になる。それをさらに面点変換すると、体積比27の正８面体になる。

■しかし正４面体を外側に面点変換すると、体積比27の正４面体になる。つまり正６面体と正８面体や正12面体と正20面体のように双対の立体関係が、正４面体は自分自身と双対の関係なので、２度の面点変換分を１度で成してしまっているということだ。

■このことを４オクターブ＋３音で暦の１ヶ月と同型対応させた図「月のテンプレート」上で見たものが下の図である。基音のＣに２の12乗根を26回掛けると振動数は9/2倍になる。また基音のＣに12乗根を31回掛けると振動数は６倍になる。

　　　

■これを交互にもう１度繰り返すと共に振動数が27倍（純正律では80／３で26.666…だが、平均律では26.909…でほぼ27となる）になる（※）。これを正６面体と正８面体と同型対応視するならば、正４面体は一気に33度上音へと変換する。

■このことからも正４面体は単なる３次元空間の多面体であると考えるより、高次ではもう１つの正４面体（もしくは虚実複素空間において実の正４面体と共に虚空間側だけにある虚の正４面体）と対で１つと見て取ることもできるのではなかろうか。

■このことからもプラトン立体は５種しかないけれど、双対性を考える場合は６つであると数える視座も必要なのではないだろうか。これはまたどこかで５芒星と６芒星の問題や10進法と12進法や黄金比φと円周率πなどと深く関係としてくるだろう。

　　　

■例えばプラトン立体５つの３角数の和は355で月の13公転・自転周期の355日、及び12朔望周期354（＋１）日とも重なるが、全部で６つとしてもう１つの正４面体も数に入れると365となり、地球の１年の日数となる。太陰暦と太陽暦とも交差するのだ。

■１、27、729の組み合わせから13の月の暦の１ヶ月28日や、地球の２年（365×２＝）730日や、土星の２会合周期（378×２＝756日）が出てくることや、正８面体と正６面体の４重の（全部で８回の）面点変換が土星までの軌道と重なることはすでに見た。

■宇宙の基本は正４面体であることは間違いないが、数は１だけでは成立しない。フィボナッチ数列の第１項と第２項のように、最初の１ともうひとつの１が交差して初めて３番目の項としての２が創出されるように、２つの正４面体があって初めて基本の正８面体が出現する。

　　　

■「宇宙はたった１つの電子からなっている。もしくはペアリングを認めても２つ」という表現や、「統合には最低でも２つの要素が必要である」という表現や、「数は３から始まる｣という表現などのより深い意味も今後見ていけたらと思う。

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（※）純正律（ツァルリーノ音階）だと５／３だが、ピュタゴラス音階だと27／16であり、こちらで第５オクターブを出すととぴったり27という値になる。

　　　

201004.05 Monday