#060　フィボナッチ数列上の１と２問題など

フィボナッチ数列と自己他者問題、創造の２段階説、10進法と12進法、太陽・月・地球

■現在のマイブームというか、キーワードである「姿を形にする」ということ。まあ正確には漢字に変換する前のスガタとカタチなのだが、これすらも文字にする前の音ではなく、さらには言語化し音声化する前のイメージてもないのだが、それに拘泥すると話が始まらないので、無定義として始めていきたい。

■「姿を形にする」ということはまた、「火から水へ」ということでもあろう。kohsen氏流に言えば「５から６へ」。実数から虚数（より正確には複素数）へ。実象から抽象へ。表現はよりシンプルに、そして解析はより豊穣に。秘密の解明。ひみつはまた１と３。別解では２＋２＝１＋３とも。簡単に。

■フィボナッチ数列のロジックはシンプル極まりない。初項を１、第２項も１として、以降の項はそれぞれ２つ前の項の和となっている数列だ。先に延ばせば伸ばすほど、項間の関係比は黄金分割比φに漸近していく。しかしこの最初の部分をより丁寧に見てみることにしよう。まず最初は自己他者問題から。

　　　

■初項１、第２項１。この２つの１は「最初の１とそれと異なる１」とか「大きな１と小さな１」、または「全体としての１と部分としての１」などとも表現されるが、そもそも数字の１は単体では意味を成さず、２以降の数があって初めて総体としての１と最少の単位ユニットたる１の意味が顕在化するのだ。

■これはまた自分というものの自覚認識には必ず他物の散在、もしくは他者のまなざしが必要であるということ、さらにその自己他者はリバーシブルであり相補的かつ対称的でもあるということに比することができるだろう。初項の１と第２項の１は交換可能であり、相互不可欠かつ相互鏡像的でもあるわけだ。

■この２つの項は和（＋）によって爆発的に万物が生成していくが、それは積（×）によっては成されない。足すと掛けるの最初にして根源的な違いである。また反対の引く（−）と割る（÷）によってもまた同様に成されない。１＋１＝２、１×１＝１、１−１＝０、１÷１＝１。これらはもう自明である。

　　　　　

■１ともうひとつの１の和により、不二不一状態だったものが３項目に進んで、初めて１と２を知るのである。その時点ですでに１ともうひとつの１はリバーシブルな１と２でもあることになる。他者の視座を認識して初めて自己を知ることと対比できよう。もっとも単に別のものを知るというだけのレベルなのだが。

■１ともうひとつの１の和により、不二不一状態だったものが３項目に進み、初めて１と２を知るのである。その時点ですでに１ともうひとつの１はリバーシブルな１と２でもあることになる。他者の視座を認識して初めて自己を知ることと対比できよう。もっとも単に別のものを知るというだけのレベルだが。

■最初の世界が１ともうひとつの１しかないとしたら、第３項以降の世界は単位円の外に出た無限の世界となるだろう。明らかに２と３（この場合は第２項と第３項）の間には次元的な膜があるのだ。したがってこの第３項を新しい１と捉える視座もまたあってしかるべきだ。２＋２＝１＋３という数式の意味。

　　　

■もっとも「汝自身を知れ」とか「自分を知ることが生きている最大目的である」などと言われるように、現実極まりないリアルな世界であると感じている現在のこの世界が、未だ卒啄を待つ卵の中の状態、もしくは自己他者をしっかり相互認識していない未解決未反転な状態であると捉える比喩界面もあろう。

■その意味では現在の私たちの多くは未だ数の本質を垣間見てすらいないという表現もできよう。１−１は相殺、１×１及び１÷１は間違った自己言及と他者描出であり、共に第３項未満の領域、もしくは（少なくとも数の）創造の第２段階以前のフェイズに閉塞したままの平衡状態にいるということになる。

■生成の第２段階からは、ひとつの会話の上に異なる意味が乗った会話であるメタローグ的に、第３項（２）<新しい第１項>、第４項（３）<２>、第５項（５）<３>、第６項（８）<４>、第７項（13）<５>、第８項（21）<６>、第９項（34）<７>、第10項（55）<８>、第11項（89）<９>、第12項（144）<10>…と続く。

　　　

■ここでは第５項が初めて整数の５と並列し、その後一気に追い抜かれていくことや、第10項でその11倍のぞろ目である55、もしくは１〜10までの総和の55となることや、第12項で初めてその項数の２乗（ここでは12の２乗の144）と交差することなど、様々な数の表情をゆっくり眺められる。

■しかし残念ながらここからさらに先に進まねばならない。初項１、第２項１というこのフィボナッチ数列の基本にして唯一のロジックは任意の数は前２項の和となっているということだけである。この数列全体を異なる視座から改めて創造の第１段階と見、新たなる第２段階に比すべき道を進むことにしよう。

■実はこの初項と第２項は必ずしも１と１である必要はないのである。フィボナッチ数列の第１項と第２項で閉じたままの状態を卵の内部に喩えたが、これを卵子に置き換え、第３項以降を受精し成長する胎児に比すならば、母体たる１と胎児の１から、各自が別個の数たりうる数列への出産とも捉えらようか。

　　　

■火（５）から水（６）という表現をスライドしてもいいのだが、その漢字の形と数に対応させて光（７）へ進むとでも表現できようか。まあ色を添えるという意味では良いかもしれない。さて先に進もう。フュンク・ウレの数列を見ていこう。初項２、第２項が10で、あとはフィボナッチ数列と同じものだ。

■この初期設定の初項２と第２項10もまたリバーシブルだ。前後にかかわらず第３項は12になる。ここに早くもフィボナッチ数列上に見た、新しい項数の間の２のずれや10進法と12進法のずれを見たり、また２と10という初期設定から２×10で20進法や10÷２の５進法を云々するのは先走りだ。

■先ほど同様に、第３項を改めて新しい第１項とも見る垂上下的視座を保ったまま、第１項（２）、第２項（10）の続きを見ていくことにすると、第３項（12）<新しい第１項>、４（22）<２>、５（34）<３>、６（56）<４>、７（90）<５>、８（146）<６>、９（236）<７>…。

　　　

■さてここからがキモである。第10項（382）<新しい第８項>、同11（618）<９>、12（1000）<10>、13（1618）<11>、14（2618）<12>…とつづくのだが、改めて指摘するまでもなく、第12項（新しい第10項）の値がきれいに1000となっているのが分かるだろう。

■また第13項（11）、第14項（12）は1618、2618となっており、逆に第11項（９）、第10項（８）は618、382となっている。つまりそれぞれ黄金比φとφの２乗、及び黄金比φの逆数１／φと１／φの２乗を1000倍した数値（小数点４桁以下を切り捨て）になっているのである。

■この関係は第12項（新しい第10項）の1000（つまり１／1000すれば１を中心にして右側にはφの項数の差異分だけ累乗した値に、そして左側には１／φの項数の差異分だけ累乗した値になっているのである。ここで改めて10と12の関係及び反転した14の括りの関係を見ることができるのだ。

　　　

■10進法と12進法の関係や５と６の関係を論じようが、虚軸と実軸に半径１（1000）の単位円を回転させようが自由である。黄金比を使っちゃあずるいよという声が出るかもしれないが、これは初項が２、第２項が10という設定をしただけの、このフイボナッチ数列と同じロジックの数列に過ぎない。

■話の真のキモはいつものとおり、言っていることを全て取り去ったとしても、それでもそこに残る何かであって、様々な言葉や数字は本当に単なる手段であり過程に過ぎないのだということである。今回使ったものは前の２つの数字を足すという操作と誰にでも分かる整数だけだ。黄金比なんて知らなくてもいい。

■このシンプルな操作をわずか10回ほど繰り返すだけで素晴らしい世界が見渡せる高台に登れるということや、途中にめずらしい花の発見もあるだろうことが分かっているとしても、それでも私たちの少なからずはすでに、暗算でこのような操作を10回ほど繰返す気力も能力もなくなってしまっているのだ。

　　　

■そんなことを声高に主張してみても意味がないので、フィボナッチ数列の初項と第２項がどんな自然数であってもいいという自由度と、そこから自分だけの発見があり得るということを、次にシンプルな初項１、第２項６の数列で見てみようと思う。なおちなみに初項１、第２項２だと１項ずれるだけである。

■新しい項数を知りたければ単に項数に２を足せばよいだけなので、ここでは煩雑さを避けるべく新しい項数は省略する。第１項１、第２項６、第３項７、第４項13、第５項20、第６項33、第７項53、第８項86、第９項146、第10項225、第11項364、第12項589、第13項953…。

■少しでも数の好きな人や天体の運行や暦に興味のある人なら、なかなか美味しい数のてんこ盛りの数列に見えるのではないだろうか。マヤ的な13−20もあれば最高階位33も見えている。第11項には金星公転周期日が見え、その次の第12項には地球の１年の日数（52週分＝13×28）もある。

　　　

■混乱なきよう注意深くメタファーを推し進めれば、１と１とは太陽と月、２が地球。新たな位相では10が太陽、２が月、12が地球。あくまでも非平衡ながら太陽と月はリバーシブル。右目と左目と鼻。アマテラスとツクヨミとスサノオ。右脳と左脳、そして交差しない嗅覚器官。あらゆるものの３の構造。

■正確ではない表現があったので訂正しておかねばならない。まずリュカ数は初項２第２項１と表現する方が一般的であるということ。結果は全て１項ずつずれるだけ。またフュンク・ウレ数列の初項２第２項10は、意味的には交換可能でも、数列結果に対してはリバーシブルではない。以上、自己ツッコミ。

■「この左右の目とも対応させる初項と第２項を立体裸眼視したものが第３項である」という表現に拡張すると、これはもはや文学的意味でのメタファーでもシミリーでもなく、しかし非論理的妄言やナンセンスかというとそうでもない。詩的言語表現として評価されるのか、内的真実のみで朽ち果てるのか。

2010.03.08 Monday