#060 フィボナッチ数列上の1と2問題など
フィボナッチ数列と自己他者問題、創造の2段階説、10進法と12進法、太陽・月・地球
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■現在のマイブームというか、キーワードである「姿を形にする」ということ。まあ正確には漢字に変換する前のスガタとカタチなのだが、これすらも文字にする前の音ではなく、さらには言語化し音声化する前のイメージてもないのだが、それに拘泥すると話が始まらないので、無定義として始めていきたい。
■「姿を形にする」ということはまた、「火から水へ」ということでもあろう。kohsen氏流に言えば「5から6へ」。実数から虚数(より正確には複素数)へ。実象から抽象へ。表現はよりシンプルに、そして解析はより豊穣に。秘密の解明。ひみつはまた1と3。別解では2+2=1+3とも。簡単に。
■フィボナッチ数列のロジックはシンプル極まりない。初項を1、第2項も1として、以降の項はそれぞれ2つ前の項の和となっている数列だ。先に延ばせば伸ばすほど、項間の関係比は黄金分割比φに漸近していく。しかしこの最初の部分をより丁寧に見てみることにしよう。まず最初は自己他者問題から。
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■初項1、第2項1。この2つの1は「最初の1とそれと異なる1」とか「大きな1と小さな1」、または「全体としての1と部分としての1」などとも表現されるが、そもそも数字の1は単体では意味を成さず、2以降の数があって初めて総体としての1と最少の単位ユニットたる1の意味が顕在化するのだ。
■これはまた自分というものの自覚認識には必ず他物の散在、もしくは他者のまなざしが必要であるということ、さらにその自己他者はリバーシブルであり相補的かつ対称的でもあるということに比することができるだろう。初項の1と第2項の1は交換可能であり、相互不可欠かつ相互鏡像的でもあるわけだ。
■この2つの項は和(+)によって爆発的に万物が生成していくが、それは積(×)によっては成されない。足すと掛けるの最初にして根源的な違いである。また反対の引く(−)と割る(÷)によってもまた同様に成されない。1+1=2、1×1=1、1−1=0、1÷1=1。これらはもう自明である。
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■1ともうひとつの1の和により、不二不一状態だったものが3項目に進んで、初めて1と2を知るのである。その時点ですでに1ともうひとつの1はリバーシブルな1と2でもあることになる。他者の視座を認識して初めて自己を知ることと対比できよう。もっとも単に別のものを知るというだけのレベルなのだが。
■1ともうひとつの1の和により、不二不一状態だったものが3項目に進み、初めて1と2を知るのである。その時点ですでに1ともうひとつの1はリバーシブルな1と2でもあることになる。他者の視座を認識して初めて自己を知ることと対比できよう。もっとも単に別のものを知るというだけのレベルだが。
■最初の世界が1ともうひとつの1しかないとしたら、第3項以降の世界は単位円の外に出た無限の世界となるだろう。明らかに2と3(この場合は第2項と第3項)の間には次元的な膜があるのだ。したがってこの第3項を新しい1と捉える視座もまたあってしかるべきだ。2+2=1+3という数式の意味。
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■もっとも「汝自身を知れ」とか「自分を知ることが生きている最大目的である」などと言われるように、現実極まりないリアルな世界であると感じている現在のこの世界が、未だ卒啄を待つ卵の中の状態、もしくは自己他者をしっかり相互認識していない未解決未反転な状態であると捉える比喩界面もあろう。
■その意味では現在の私たちの多くは未だ数の本質を垣間見てすらいないという表現もできよう。1−1は相殺、1×1及び1÷1は間違った自己言及と他者描出であり、共に第3項未満の領域、もしくは(少なくとも数の)創造の第2段階以前のフェイズに閉塞したままの平衡状態にいるということになる。
■生成の第2段階からは、ひとつの会話の上に異なる意味が乗った会話であるメタローグ的に、第3項(2)<新しい第1項>、第4項(3)<2>、第5項(5)<3>、第6項(8)<4>、第7項(13)<5>、第8項(21)<6>、第9項(34)<7>、第10項(55)<8>、第11項(89)<9>、第12項(144)<10>…と続く。
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■ここでは第5項が初めて整数の5と並列し、その後一気に追い抜かれていくことや、第10項でその11倍のぞろ目である55、もしくは1〜10までの総和の55となることや、第12項で初めてその項数の2乗(ここでは12の2乗の144)と交差することなど、様々な数の表情をゆっくり眺められる。
■しかし残念ながらここからさらに先に進まねばならない。初項1、第2項1というこのフィボナッチ数列の基本にして唯一のロジックは任意の数は前2項の和となっているということだけである。この数列全体を異なる視座から改めて創造の第1段階と見、新たなる第2段階に比すべき道を進むことにしよう。
■実はこの初項と第2項は必ずしも1と1である必要はないのである。フィボナッチ数列の第1項と第2項で閉じたままの状態を卵の内部に喩えたが、これを卵子に置き換え、第3項以降を受精し成長する胎児に比すならば、母体たる1と胎児の1から、各自が別個の数たりうる数列への出産とも捉えらようか。
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■火(5)から水(6)という表現をスライドしてもいいのだが、その漢字の形と数に対応させて光(7)へ進むとでも表現できようか。まあ色を添えるという意味では良いかもしれない。さて先に進もう。フュンク・ウレの数列を見ていこう。初項2、第2項が10で、あとはフィボナッチ数列と同じものだ。
■この初期設定の初項2と第2項10もまたリバーシブルだ。前後にかかわらず第3項は12になる。ここに早くもフィボナッチ数列上に見た、新しい項数の間の2のずれや10進法と12進法のずれを見たり、また2と10という初期設定から2×10で20進法や10÷2の5進法を云々するのは先走りだ。
■先ほど同様に、第3項を改めて新しい第1項とも見る垂上下的視座を保ったまま、第1項(2)、第2項(10)の続きを見ていくことにすると、第3項(12)<新しい第1項>、4(22)<2>、5(34)<3>、6(56)<4>、7(90)<5>、8(146)<6>、9(236)<7>…。
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■さてここからがキモである。第10項(382)<新しい第8項>、同11(618)<9>、12(1000)<10>、13(1618)<11>、14(2618)<12>…とつづくのだが、改めて指摘するまでもなく、第12項(新しい第10項)の値がきれいに1000となっているのが分かるだろう。
■また第13項(11)、第14項(12)は1618、2618となっており、逆に第11項(9)、第10項(8)は618、382となっている。つまりそれぞれ黄金比φとφの2乗、及び黄金比φの逆数1/φと1/φの2乗を1000倍した数値(小数点4桁以下を切り捨て)になっているのである。
■この関係は第12項(新しい第10項)の1000(つまり1/1000すれば1を中心にして右側にはφの項数の差異分だけ累乗した値に、そして左側には1/φの項数の差異分だけ累乗した値になっているのである。ここで改めて10と12の関係及び反転した14の括りの関係を見ることができるのだ。
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■10進法と12進法の関係や5と6の関係を論じようが、虚軸と実軸に半径1(1000)の単位円を回転させようが自由である。黄金比を使っちゃあずるいよという声が出るかもしれないが、これは初項が2、第2項が10という設定をしただけの、このフイボナッチ数列と同じロジックの数列に過ぎない。
■話の真のキモはいつものとおり、言っていることを全て取り去ったとしても、それでもそこに残る何かであって、様々な言葉や数字は本当に単なる手段であり過程に過ぎないのだということである。今回使ったものは前の2つの数字を足すという操作と誰にでも分かる整数だけだ。黄金比なんて知らなくてもいい。
■このシンプルな操作をわずか10回ほど繰り返すだけで素晴らしい世界が見渡せる高台に登れるということや、途中にめずらしい花の発見もあるだろうことが分かっているとしても、それでも私たちの少なからずはすでに、暗算でこのような操作を10回ほど繰返す気力も能力もなくなってしまっているのだ。
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■そんなことを声高に主張してみても意味がないので、フィボナッチ数列の初項と第2項がどんな自然数であってもいいという自由度と、そこから自分だけの発見があり得るということを、次にシンプルな初項1、第2項6の数列で見てみようと思う。なおちなみに初項1、第2項2だと1項ずれるだけである。
■新しい項数を知りたければ単に項数に2を足せばよいだけなので、ここでは煩雑さを避けるべく新しい項数は省略する。第1項1、第2項6、第3項7、第4項13、第5項20、第6項33、第7項53、第8項86、第9項146、第10項225、第11項364、第12項589、第13項953…。
■少しでも数の好きな人や天体の運行や暦に興味のある人なら、なかなか美味しい数のてんこ盛りの数列に見えるのではないだろうか。マヤ的な13−20もあれば最高階位33も見えている。第11項には金星公転周期日が見え、その次の第12項には地球の1年の日数(52週分=13×28)もある。
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■混乱なきよう注意深くメタファーを推し進めれば、1と1とは太陽と月、2が地球。新たな位相では10が太陽、2が月、12が地球。あくまでも非平衡ながら太陽と月はリバーシブル。右目と左目と鼻。アマテラスとツクヨミとスサノオ。右脳と左脳、そして交差しない嗅覚器官。あらゆるものの3の構造。
■正確ではない表現があったので訂正しておかねばならない。まずリュカ数は初項2第2項1と表現する方が一般的であるということ。結果は全て1項ずつずれるだけ。またフュンク・ウレ数列の初項2第2項10は、意味的には交換可能でも、数列結果に対してはリバーシブルではない。以上、自己ツッコミ。
■「この左右の目とも対応させる初項と第2項を立体裸眼視したものが第3項である」という表現に拡張すると、これはもはや文学的意味でのメタファーでもシミリーでもなく、しかし非論理的妄言やナンセンスかというとそうでもない。詩的言語表現として評価されるのか、内的真実のみで朽ち果てるのか。
2010.03.08
Monday
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