#021 １の中に折りたたまれた３を見る

■最もシンプルな１辺１の単位立方体を考えてみよう（上図）。この上段中図で示した青い点線は面の対角線（√２）、赤い点線は立体対角線（√３）を表している、そして緑の点線は任意の辺の両端にある２点から対称的な位置にある辺の中点へ伸ばした線分（３／２）である。この線分は常に２本で１セットなので、合計して３単位長と捉えることもできるだろう。一意で「１の中の３」である。

■この元の１辺と２本の偽立体対角線の和は４であり、そもそも１面を構成する４本の辺の和４と等しい（上段右）。ある意味３本の辺が２本の偽立体対角線へとシフトした、もしくは中央の１本の辺が点化した結果、残る２本の辺が２／３長になったと見ることもできるだろう。この単位立方体を等分割する辺長比１：√２の長方形の中には、４本の線長比３／２の線分が含まれている（下段左）。

■この辺長比１：√２の長方形の中に交差してできる２つの３角形は辺長比（１：1.5：1.5＝）２：３：３の２等辺３角形である。２つの底角は70.5度になっている。70.5度は非常に重要な正４面体の２面角であり、正６面体の中心角でもある。また頂角は19.5度の倍の39度である。この単位立方体には全部で６面の長方形があるので、全部で24本の３／２長の線分が含まれている（下段中）。

　　　

■この立方体の４本の辺が４端点に見える位置から面心方向から見ると、この3/2長の24本の線分は正方形の中で重なりあって、下段右に示したような８本の線からなる変形８点星のパターンとなるだろう。これはどの６面方向から見ても同じである。これは２次元への射影図でもある。この変形８点星のパターンは、その交点をつなぐことによって、各辺を正確に３、４、５等分することができる。

■また同様にして、この正方形を９、16、25等分することができるのである（下図）。さらに再びこの射影図を立方体の各面に立ち戻すと、この単位立方体を３３＝27、４３＝64、５３＝125に等分割することもできるのである。これは単位円から１，２，３を起こし、そこから３，４，５を見るサークルゲノムとは別バージョンの「１，２，３から３，４，５を立ちおこす」操作でもある。

■なおこの図形は『正方形の３,４,５等分化』で紹介したMalcolm Stewart氏の"the Sand Reckoner's Diagram"と等しい。１：√２の長方形が正方形に投影されるということは、この３／２の線分が(√５)／２に圧縮されるということであり、（３−√５）／２＝0.381966011…だけ削られたということだが、問題はこれが黄金比φの２乗の逆数0.381966011…そのものであるということである。

　　　

■またこれは辺長比が１：２√２：３の直角３角形が、辺長比１：２：√５の直角３角形に圧縮されたということでもある。√２が１に圧縮されたということだが、この差は数値は√２−１＝0.414213562…でなる。そして面白いことに、これは正８面体の外接球半径(√２)と中接球半径(１)の比の差0.4142…、及び地球の１日を基本とした時の木星の自転周期0.414日に近似しているのである。

2010.01.26 Tuesday