#111　正６面体と正８面体の相互の３接球

■正８面体と正６面体は双対立体である。つまり互いに、一方を面点変換するともう一方の立体になる関係を有している。この関係はミクロ方向・マクロ方向に無限につながっている。ここで正８面体を固定して、それに内接、中接、及び外接する正６面体を考えてみよう。上図の下の３つはその関係を示したものである。また上の３つはそれぞれの交差を真上から見た平面図である。

■この関係においては図からも分かるように、内接・中接・外接する正６面体の辺長比は1/3：1/2：1/1になっている。また上図上に示した水色・薄紫・黄色で示した３つの正方形は３つの正６面体の１面で、面積比は1/9：1/4：1/1になっている。正６面体の表面積はこのそれぞれ６倍だが比率は同じである。なお上図下に示したこの３つの正６面体の体積比は1/27：1/8：1/1になっている。

■ちなみに正８面体と正６面体の関係において、上左図で示した正８面体とそれに内接する正６面体の体積比は９：２であり、上中図で示した正８面体とそれに中接する正６面体の体積比は４：３であり、上右図で示した正８面体とそれに外接する正６面体の体積比は１：６である。なお下図には逆に正６面体を固定して、それに内接、中接、及び外接する正８面体との関係を示した。

　　　

■表現の仕方は異なっているが、やはり図からも３つの正８面体の辺長比、面積比、体積比が見て取れるだろう。正６面体を固定して内接・中接・外接する３つの正８面体の辺長比を見ると、こちらでは１：２：３になっている。この３つの正８面体表面積比は１：４：９であり、体積比は１：８：27である。シンプルで美しい関係ではないだろうか。

2008.12.13 Saturday