#048　ケプラーを跨いで踏み出したい足の裏

「ここでは時間が空間になる」…ワグナーの歌劇『パルジファル』におけるグルネマンツのセリフ

■私は数学者、自然哲学者にして占星術師でもあるヨハネス・ケプラーが大好きである。その発想の真の源や思考の形態は分からないけれど、「数」を宇宙の秩序の中心として、それらを「形」にして残してくれている。５つのプラトン立体を６つの惑星の間に内接・外接する殻球とした多面体太陽系モデルや、天体物理学の先駆といえるであろう惑星運行に関するケプラーの３つの法則などには心酔してしまう。

■「惑星軌道は楕円である」とする第１法則、「面積速度保存の法則」である第２法則の次に、10年をおいて発表されたケプラーの第３法則というものがある。「惑星軌道において公転周期の２乗と平均軌道半径の３乗に比例する」というものだ。これにより初めて、惑星間の相互関係を考えることができるようになった。太陽からの距離が分かると公転周期が求められ、公転周期が分かると太陽からの距離が得られるのだ。

■さてではただ騒いでいるだけでなく、この第３法則をとりあえず１度ちゃんと確認してみよう。公転周期はその単位を地球の<日>、平均軌道半径をメートル法の<×10^6km>として、<公転周期の２乗／平均軌道半径の３乗>を求めてみると下記のようになる。つまりその値はみなほぼ0.0398…という数値になって一致するということが分かる。

　　　

　　　　　　　公転周期（日）平均軌道半径(10⁶km）　Ａ²／Ｂ³（＝0.0398…）
　　水星　　　　87.9690　　　　　57.91　　　　　　0.039847
　　金星　　　　224.701　　　　　108.21 　　　　　0.039848
　　地球　　　　365.256　　　　　149.6　　　　　　0.039847
　　火星　　　　686.980　　　　　227.92 　　　　　0.039860
　　木星　　　　4332.60　　　　　778.57 　　　　　0.039774
　　土星　　　　10759.2　　　　　1443.5 　　　　　0.038487
　天王星 　　　　 30685　　　　　2872.460　　　　 0.039727
　海王星 　　 　　60190　　　　　4495.1 　　　　　0.039887
　冥王星 　　　 　90465　　　　　5869.7 　　　　　0.040468

■この数値になったのは公転周期と平均軌道半径の単位設定のせいであり、別の設定であれば別の数値で等しくなるだろう。公転周期を日ではなく地球の１年とし、平均軌道半径も地球と太陽の間の平均距離として設定されている１天文単位にすると、この「公転周期の２乗／平均軌道半径の３乗」はほぼ１になる。ほかの惑星たちの値も以下のとおりになり、誤差は最大でも0.5％ほどしかないことがわかる。

　　　　　　　公転周期（年）　　平均軌道半径(AU) 　　Ａ²／Ｂ³≒１（カッコ内は逆数）
　　水星　　　　0.240847　　　　0.387098　　　　1.000045　（0.999955）
　　金星　　　　0.615197　　　　0.723330　　　　1.000044　（0.999956）
　　地球　　　　1.000017　　　　1.000001　　　　1.000031　（0.999969）
　　火星　　　　1.880848　　　　1.523679　　　　1.000062　（0.999938）
　　木星　　　 11.861983　　　　5.202603　　　　0.999200　（1.000800）
　　土星　　　 29.457159　　　　9.554910　　　　0.994722　（1.005306）
　天王星　　　 84.030473　　 　19.218446 　　 　0.994761　（1.005266）
　海王星　　 　164.770132 　　 30.110387 　　　 0.994507　（1.005523）
　冥王星　　　 247.790362 　　 39.540245 　　　 0.993232　（1.006814）

■惑星の公転周期の２乗と楕円軌道の長軸の３乗との比が等しいとは、一体どのような意味を持つのだろう。周期の単位の２乗と長さの単位の３乗との比が等しいということの奥には一体何があるのだろう。公転周期は何かの平方根であり、軌道長半径はその同じ何かの立方根として現れているということでもある。時間的要素である周期の平方と、空間的要素である軌道半径の立方の比率が等しいとはどういうことなのだろう。

■軌道半径の３乗はとりあえず空間的に立方としてイメージできるが、公転周期の２乗を同様にシンプルな平方として幾何学的にイメージするのは少し違うだろう。時間を面積として捉えることと空間を体積として捉えることの間に、モデル化の混乱が生じないだろうか。天体の運行を考える時、２乗３乗および２乗根３乗根も思考の視野に入れておく必要があるのだろうか。

　　　

■１より小さい０以外の少数の累乗はより少なくなるし、逆に累乗根は大きくなる。１より大きい数の累乗がより大きくなり、累乗根が小さくなることと対称性を持つことも視座に入れて考える必要もあるだろう。また０と１という数が特別な数であるということも改めて見て取れる。ケプラーを跨いで踏み出そうとして持ち上げた足の裏は、まだ当分その下ろし場所を見出せず、どこにも着地できないままである。

2008.0524 Saturday