#048 ケプラーを跨いで踏み出したい足の裏

「ここでは時間が空間になる」…ワグナーの歌劇『パルジファル』におけるグルネマンツのセリフ

■私は数学者、自然哲学者にして占星術師でもあるヨハネス・ケプラーが大好きである。その発想の真の源や思考の形態は分からないけれど、「数」を宇宙の秩序の中心として、それらを「形」にして残してくれている。5つのプラトン立体を6つの惑星の間に内接・外接する殻球とした多面体太陽系モデルや、天体物理学の先駆といえるであろう惑星運行に関するケプラーの3つの法則などには心酔してしまう。

■「惑星軌道は楕円である」とする第1法則、「面積速度保存の法則」である第2法則の次に、10年をおいて発表されたケプラーの第3法則というものがある。「惑星軌道において公転周期の2乗と平均軌道半径の3乗に比例する」というものだ。これにより初めて、惑星間の相互関係を考えることができるようになった。太陽からの距離が分かると公転周期が求められ、公転周期が分かると太陽からの距離が得られるのだ。

■さてではただ騒いでいるだけでなく、この第3法則をとりあえず1度ちゃんと確認してみよう。公転周期はその単位を地球の<日>、平均軌道半径をメートル法の<×10^6km>として、<公転周期の2乗/平均軌道半径の3乗>を求めてみると下記のようになる。つまりその値はみなほぼ0.0398…という数値になって一致するということが分かる。

   

       公転周期(日)平均軌道半径(106km) A2/B3(=0.0398…)
  水星    87.9690     57.91      0.039847
  金星    224.701     108.21      0.039848
  地球    365.256     149.6      0.039847
  火星    686.980     227.92      0.039860
  木星    4332.60     778.57      0.039774
  土星    10759.2     1443.5      0.038487
 天王星      30685     2872.460     0.039727
 海王星      60190     4495.1      0.039887
 冥王星      90465     5869.7      0.040468

■この数値になったのは公転周期と平均軌道半径の単位設定のせいであり、別の設定であれば別の数値で等しくなるだろう。公転周期を日ではなく地球の1年とし、平均軌道半径も地球と太陽の間の平均距離として設定されている1天文単位にすると、この「公転周期の2乗/平均軌道半径の3乗」はほぼ1になる。ほかの惑星たちの値も以下のとおりになり、誤差は最大でも0.5%ほどしかないことがわかる。

       公転周期(年)  平均軌道半径(AU)   A2/B3≒1(カッコ内は逆数)
  水星    0.240847    0.387098    1.000045 (0.999955)
  金星    0.615197    0.723330    1.000044 (0.999956)
  地球    1.000017    1.000001    1.000031 (0.999969)
  火星    1.880848    1.523679    1.000062 (0.999938)
  木星    11.861983    5.202603    0.999200 (1.000800)
  土星    29.457159    9.554910    0.994722 (1.005306)
 天王星    84.030473    19.218446     0.994761 (1.005266)
 海王星    164.770132    30.110387     0.994507 (1.005523)
 冥王星    247.790362    39.540245     0.993232 (1.006814)

■惑星の公転周期の2乗と楕円軌道の長軸の3乗との比が等しいとは、一体どのような意味を持つのだろう。周期の単位の2乗と長さの単位の3乗との比が等しいということの奥には一体何があるのだろう。公転周期は何かの平方根であり、軌道長半径はその同じ何かの立方根として現れているということでもある。時間的要素である周期の平方と、空間的要素である軌道半径の立方の比率が等しいとはどういうことなのだろう。

■軌道半径の3乗はとりあえず空間的に立方としてイメージできるが、公転周期の2乗を同様にシンプルな平方として幾何学的にイメージするのは少し違うだろう。時間を面積として捉えることと空間を体積として捉えることの間に、モデル化の混乱が生じないだろうか。天体の運行を考える時、2乗3乗および2乗根3乗根も思考の視野に入れておく必要があるのだろうか。

   

■1より小さい0以外の少数の累乗はより少なくなるし、逆に累乗根は大きくなる。1より大きい数の累乗がより大きくなり、累乗根が小さくなることと対称性を持つことも視座に入れて考える必要もあるだろう。また0と1という数が特別な数であるということも改めて見て取れる。ケプラーを跨いで踏み出そうとして持ち上げた足の裏は、まだ当分その下ろし場所を見出せず、どこにも着地できないままである。

2008.0524 Saturday