#415　虚数と多面体と惑星周期

■１辺１の正６面体の対角線は√２、立体対角線は√３である。先に水星の自転周期58.5日の数値を半径とする円を想定すると、その周長は367.566となり、海王星の会合周期367.47日に極似するということを見たが、ツォルキン260に√２を掛けると367.6955262…でこちらもまた海王星の会合周期に近似する。また同じく260に(√３)／２を掛けると225.166605…となり、金星の公転周期224.701日に近似する。

■これらの無理数の概算値だけを見れば、√２は1.41421356…であり、√３は1.7320508050…だ。虚数は代数的な捉え方のみでは右脳的認識はできないが、回転する対球内の平行面上で直交する直径を含む正４面体を考えている時に、天体の運行や周期に近似している数値が副産物的に目に留まることがある。例えば(√３−１)／２＝0.366025403…だが、この数値はメガリス幾何学で用いる366という数の１／1000に近似している。

■実のところ√３は正６面体の立体対角線であるだけでなく、多面体とかなり相性がいい。例えば１辺１の正４面体の表面積は√３である。１辺１の正３角形の面積は(√３)／４だが、正４面体は正３角形の面が４つあるので√３となるわけだ。正８面体はこの倍の２√３となる。数値で表わせば3.464101615…だが、これは地球の食年346.6201日の１／100に近似している。多面体を介せば虚数も空間的要素や時間的周期としてイメージできる。

　　　

■ついでにもう少し見ていこう。正８面体の半分、つまり１辺１のピラミッド形の正４角錐の表面積は１＋√３だから2.732050805…で、ストレートに月の自転・公転周期27.321586…の１／10に近似している。また正４面体を２個くっつけた形のデルタ６面体の表面積は(３√３)／２＝2.598076211…である。これは１辺１の正６角形の面積に等しい。１辺100として計算すればほぼ25980だが、地球の惑星歳差運動周期25920年を連想させる。

■また１辺１のデルタ10面体の表面積は(５√３)／２＝4.330127019…だが､この数値の1000倍は木星の公転周期4332.5029日に近似している。同じくデルタ14面体の表面積は(７√３)／２＝6.062177826…だが、この数値は１辺１の正６面体の表面積に近似している。さらに１辺１の16面体の表面積は４√３＝6.92820323…だが、１辺10のそれは火星の公転周期686.98405日に近似している｡デルタ多面体とは各面が全て正３角形の凸多面体だ。

■１辺１のデルタ18面体(部分的に凹)の表面積は(９√３)／２＝7.794228632…だが、１辺10のそれは火星会合周期779.8660日に近似している。ちなみに残る１辺１のプラトン立体は、正20面体の表面積が５√３＝8.660254038…であり、正12面体は３√（25＋10√５）＝20.64572881…である。なお１辺が100の正方形の面積は10000だが、これは地球の公転周期365.2422日と月の公転･自転周期27.321日の積に近似している。

■他にもいろいろ見出せるが、これは数と形と天体周期をただ数合わせしたものではなく、より分かりやすい関係性を見出そうとするための、まだ心もとない取っ掛かりに過ぎない。

2007.07.20 Friday