#257　 １日、360度、1440分の分割について

■友人のふうさんは元鉄道オタクだったそうだ。かつて電車の運行間隔と一時間あたりの本数との関係について話してくれたことがある。たとえば２分間隔だと１時間に30本、３分間隔だと１時間に20本運行する計算になる。同様に４分間隔だと15本、５分間隔だと12本、６分間隔だと10本となる。秒単位の過密ダイアは一応別にすると、ここから数字がひっくりかえって10分間隔で６本、12分間隔で５本、15分間隔で４本、20分間隔で３本、30分間隔で２本となる。

■整数に限定しなければ7.5分間隔で８本、８分間隔で7.5本ということになる。まあシンプルに反比例の関係になっている。この関係を１時間ではなく２時間120分で考えると、８分間隔で15本ということになる。さらに４時間240分で考えると、１、２、３、４、５、６、８、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120、240という20個の約数を持つ。つまり２分間隔だと120本、３分だと80本…と続き、最後は120分間隔で２本、240分で１本となるわけだ。

■ではこの４時間という枠の中で20個の数値が反転するのはどこでだろう。それはちょうど15と16の間にある。15分間隔だと16本、16本間隔だと15本というわけだ。では６時間360分だとどうなるか。ちょうど円の360度の分割と同じ意味になる。360は１、２、３、４、５、６、８、９、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360という24個の約数を持つ。そして18と20の間で反転するのである。18分間隔だと20本、20分だと18本というわけだ。

　　　

■19分間隔で19本にならないのがちょっとおしい。実のところ、19分間隔で19本運行するには＋１分が必要となる。つまり19×19＝360＋１ということだが、これは碁盤の石を置ける位置の数でもある。縦横19本の交点が361点あるということだ。ちなみに碁石は先手の黒石が181個、後手の白石は180個で、合計が361個になっている。なお20×18＝360というのは、１ヶ月が20日の18ヶ月に５日を足して１年365日としたマヤの農耕暦ハアブ(HAAB)をも連想させてくれる。

■この360を分割するのは円周360度を１本の弦と見立てて、それにいくつの振動しない不動点を均一にプロットしていくかということと理論上は同価だ。全解放もしくは１点だけを固定した時の振動がドだとすると、不動点を２つとすると０と180度の位置にすると、振動は１オクターブ上のドとなる。同じく３点にすると１オクターブ上のソとなる。以下同じ様に４点で２オクターブ上のド(15度上音)、５点だと17度上音のミ、６点だと19度上音のソとなる。…以下同様。

■この関係は４オクターブ(＋３音)のテンプレートの図に表わしたように、最初の弦の長さが整数で分割されていくという事は、赤字で表したように最初の全長の弦の振動数の整数倍であるということでもある。なぜこの形に入れ込んだのかというと、１ヶ月が４週間28日という構造を持つ「13の月の暦」（に３日を加えて太陽暦とも対応させてあるが）の日にちの数と、音程の差が何度かという数値が同じ位置に入るからである。１ヶ月を円周と等価と見てるのだ。

　　　　

■なお、このままオクターブを増やしていけば、最初のドの振動数の360倍の振動数の理論的な位置も見て取れることがわかるだろう。それには60度上音であり、図で表わしたように９オクターブのスケールが必要だということがわかるだろう。そもそも電車の時刻表から始めた話だが、１日にこの６時間360分が４回分の24時間1440分である。１，２，３，４のペンターブや、1440×100＝144000や、音と暦と角度の同型対応などは、また別の機会に見ていくことにしよう。

　　　

2007.03.04 Sunday