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５重回転対称性の自己相貫多面体(1)

■１■合金には大きな単位胞を持つ様々な結晶相があり、その多くが正20面体の対称性を持つ原子のクラスターとして説明されている。綿棒多面体のメインストリームではないけれど、自己相貫した５重回転対称性の綿棒多面体の系譜もある。そんなサイドストーリー的な綿棒多面体を幾つかを紹介してみよう。

■２■正20面体の４重や８重の相関体は見たけれど、１辺１単位の正12面体の12ある正５角形面のそれぞれに、正20面体の正５角錐をはめ込んだらどのような形になるだろう。正12面体に正20面体を貼り付けて行っても良いが、最初にベビー綿棒で12個の正20面体を作ってから一気に組み上げてみることにする。

正20面体ホロンと、点で接続する12個の正20面体(内部形状は20-12面体)

■３■正20面体の頂点周りの正５角形(５角錐底面)を、直接隣同士合わせて１辺が全て２本からなる正12面体の稜線(30本)として組み上げる。５角錐部分が正12面体内部に12個入り込むので、内部には大星型12面体ができる。先ず５＋１で半分を組み上げてみる。上から見ると正12面体の展開図のように見える。

■４■着色は自由だが今回は６色×２で、向かい合う色を合わせるようにしながら残る片側６個を作って合体する。愛称は｢むつみあい｣とした。２つのパーツは36度ずれているので、真上からは隙間が埋まって正５角形に見える。完成した後では内部や断面図が見えなくなるので、制作過程でよく見ておきたい。

壁にシルエットを映したり、ブラックライトを当てて回転させても美しく楽しい

■５■この全体構造もまた、間の空白も入れた１辺の長さがφ1^2＝2.618…の正20面体になっている。さらにこの全体を１つの大きな正20面体として捉え、上位の階層の20面体ホロンにすることもできる。「むつみあい」は12個の正20面体を｢線｣だけで接続させたものだが、｢点｣だけで接続することもできる｡

20240120 Saturday