■１■４つの正20面体が４重に相貫している四重星(よつえぼし)の中心核は正４面体だった。この<正20面体の重心･正４面体の面心･正４面体の重心>を貫く軸に沿って退縮してきた正20面体が、この四重星の中心で４重の正20面体になった後、さらに進んで正20面体同士が離れる直前、正４面体の空間ができる。
■２■それがもう１つの四重星形態であり、中心の正４面体は中空で逆向きになっている。しかしその正４面体とは別に、最初の四重星の中心にある正４面体に逆向きの４重の正４面体を交差したら、つまり中心がケプラーの星形８面体である八重星(やつえぼし)にしたら、その全体構造と形はどうなるだろう。
■３■正４面体の自己相貫体には２重のケプラーの星形８面体の他にも、頂点が正20面体になる５重自己相貫体、さらにその右手系と左手系を合体させた10重自己相貫体(テンテトラ)もある。それぞれを四重星にした八重星･二十重星･四十重星も理論的には想定が可能だが、綿棒自体の太さから実作は不可能だ。
■４■綿棒多面体の探究と実作の道筋はそちらの方向の複雑さではないが、最初の八重星ならどうにかなりそうなので作ってみることにした。ただし色を８色にすると賑やか過ぎて内部と全体の形が分かり難そうなので、逆に四重星を単色にして、白黒２色でつくってみることにした。中心部も全て１本ですむ。
左は４色版四重星とモノクロ２色の八重星の方向を合わせてみたもの
■５■実作してみて初めて、２つの四重星の最外層で綿棒が(８＋８＝)16本集まる結節点が６か所あり、その６頂点は中心のケプラーの星形８面体の８重畳正８面体の６頂点を繋ぐ直交３軸の延長線上にあることが分かり、それがケプラーの星形８面体の８頂点が作る正６面体の面心の真上だとも改めて分かる。
■６■16本集まる最外層の結節点だけでなく、残りの外層部でこそ正20面体由来の５本集まる結節点だが、内部の結節点は四重星のままでもみな９本が集まっている。内部の様々な対称性に合わせて色分けをするとさらに多くの発見がありそうだが、八重星を綿棒多面体として正確に制作しゆくのは至難の技だ。
■７■この八重星に、元の四重星が反転して核の正４面体が中空になるもう１つの四重星の自己交差した八重星を重ねた形が十六重星だ。あるいは最初の四重星にもう１つの四重星を重ねた別のバージョンの八重星は４つの正20面体が２層に重なる形になるのだが、この双対を重ねたものは同じ十六重星になる。
■８■もはや綿棒多面体の名前の中の数だけでも何が何やら分からないと思われる。再度実作するのもいつのことやら分からない今、2021年４月に京都駅近くの喫茶店で構造解析しながら製作したものを提示しておこう。当時は新型コロナ狂騒曲の最中で、外人が全くいない京都だった。もう当分ないのだろう。
20240120
Saturday
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