■１■バッキーボールのショートケーキ版からの幸せな^3正４面体は、さらに外側に層を重ねて行っても、フラード−ムやルーローの４面体のように正３角形部が少しずつ丸くなるわでもない。そこで呼吸をする時のように今度は頂点に正20面体を付けたまま、層の数を減らして行く方向を見ていくことにした。

■２■上図は幸せな^3正４面体の頂点に正20面体を付けたまま、中間層が４層のままのものと、それを３層に減らしたものを並べたものだ。画像で見て分かる通り、正20面体同士の間の正５角柱の３連節が２連節になっている。だがこれでも側面の綿棒のせいでまだ４つの正20面体同士の接続形態が分からない。

ルーローの４面体とフラードームの一部

■３■そこでこの第３層の直接の接合部分が見えるよう、側面部分の綿棒を取り払ってみよう。すると４つの正20面体は切頂４面体の切頂部分である正３角形面で連結しているのが見えて来る。そしてさらにもう１層分を取り払うと、４つの正20面体を繋げるものは、１つの正８面体の４つの面であると分かる。

■４■この４つの正20面体をさらに退縮させていくと、相互貫入していくことになる。正20面体同士の向きや位置関係を変えないという制限を緩めると、隙間が正４面体だけになったり、１体が他の３体の中間に入り込んで接合したりするが、制限を変えないと中心の１つの正４面体で４重と重なる状態になる。

左から４つの正20面体は切頂４面体、正８面体、正４面体のみで接続

■５■正20面体同士の向きと軸を変えないまま更なる相互貫入を続けると、互いに貫通を通り過ぎて、中心に間隙として正４面体が１つでき、その正４面体の４面それぞれが、４つの正20面体の１面ずつと接する形になる。その後は正４面体にある４本の３重回転対称軸に沿ってどんどん離れていくことになる。

■６■ここで重心位置にできる正４面体のみで４つの正20面体が４重になる立体に注目しよう。この綿棒多面体(綿棒多胞体と呼んでも良いのだが)を、５重回転対称性の立体である正20面体が、内部に４重、３重、２重に重なる領域を持つ特殊な立体ということで､「四重星」(よつえぼし)という名を付けてみた。

20240118 Thursday