#027

■１■打ち止めで終わりでなく、新しい話の続きとしてノーマルなバッキーボールのショートケーキに話に戻ろう。５重回転対称性の多重多面体を製作するのが大変なので、３重対称性の軸を中心に据え、その３隅から３方向に伸びる５重対称性の軸までに限定し、その３層までをショートケーキとして考えた。

■２■正20面体の１辺と重心-頂点間の距離は同じではなく、ほぼ100：95＝20：19であることは何度も言及してきた。綿棒多面体ではこのずれを近似値としてとちらも綿棒１単位のまま製作してきた。上図はそこにもう１層加えた第５層までの図(左)と、それにさらにもう１層加えた第６層までの図(右)である。

■３■そしてそこで第６層の正５角形部分には、正20面体がぴったりはまり込むということに気が付いた。画像を見れば分かる通り、基底の正20面体から３方向に延びる５角錐対内包の５角柱と正４面体は無理なく接合し、そしてそのショートケーキの延長線上にある正４面体は４頂点が交換可能だと分かった。

■４■この立体の名は｢幸せな^3正４面体｣という。30年前に人間４人の共有領域を｢幸せな幸せな幸せな正４面体｣と名付けた。今さらそんな古いものをと思わそうだが、この形を制作した2019年当時の自分自身が迷わず｢幸せな^3正４面体｣と名付けてしまったので、より良い候補が出るまではこれで通すしかない。

■５■少し細部を見てみよう。４つの正20面体の正５角錐の正５角形がそのまま互いに連なって、正４面体構造の６本の稜線部分を作っている。中心にはベクトル平衡体がみえるが、その正３角形の４面＋４面、そして正方形の６面は、それぞれこの｢幸せな^3正４面体｣の４頂点･４面･６本の線に対応している。

■６■つまりこの４つの正20面体のどれを取っても、それを第１層として伸びるショートケーキとして見ることもできるし、ショートケーキとしてでなくそれを中心に全方向にバッキーボールを作ることができるということだ。綿棒多面体のバッキーボールの中に肉眼でこのような構造を見出せることは驚きだ。

20240117 Wednesday