■１■正８面体20個と切頂４面体20個でバッキーボールはできる。正８面体の内側が正20面体になり、外側は20-12面体になる。切頂４面体の内側はそれと重なって20-12面体になり、外側が切頂20面体になる。実にシンプルだ。しかし制作過程で正８面体も切頂４面体も、５個及び10個で２種類のトーラスになる。
■２■他にも正４面体５個でも他の多面体でも、球状の立体だけでなく円環状に組み合わさるパターンが多数ある。そこで2012年３月、綿棒多面体のトーラスを作ってみた。トーラス形多面体は幾何学的には穿孔多面体または環状多面体とも言う。凹多面体でありオイラー標数(面＋点−線＝２)が成り立たない。
■３■トーラス形多面体は幾何学的には穿孔多面体または環状多面体とも言う。通常の多面体が多角形による球面体の充填なのに対し、貫通した孔を持つトーラス体の充填である。綿棒で作ると複雑になるほど本数が増えかつ巨大になって行くので、穴の形が１〜６角形まで視野に入れて作ってみることにした。
■４■多角形は３角形から始まるが、トーラスの穴は点から始まる。そこで取り敢えず穴が点・線・面のトーラスを考えたてみた(※)。ベクトル平衡体を中心穴が点１個のトーラス多面体であると考えた。すると、次の穴が線のトーラスは、２連のベクトル平衡体から上下２本の綿棒がない形状であると解釈できる。
■５■なおこの２連のベクトル平衡体は、ベシカパイシス状多面体としても見て取れる。綿棒を組み合わせて３次元空間を空間充填しながらトーラス多面体を製作していくと、本来は見えない内部にある結節点（綿棒が集まる点）は、ベクトル平衡体の中心点と同様に、必ず12本が集まっていることが分かる。
■６■次に穴が正３角形と正４角形（正方形）のトーラスを見ていこう。３角穴のトーラスは、全て正４角錐（正８面体の半分）と正４面体の組み合わせからなり、上面と下面は正６角形、中面は頭切３角形の６角形である。ちょうどベクトル平衡体の半分ずつが、上下の穴の凹みに引っ繰り返って収まる形だ。
■７■４角穴のトーラスは、３×３の碁盤目状に並べた９個の正８面体から中央の正８面体１つを抜き去り、残った正８面体同士の間の上下８個ずつある谷間部分を16個の正４面体が塞いでいる形になる。真横からこの形の断面図を見ると、上面と下面が２倍体の正方形、中段が３倍体の正方形になっている。
正３角形穴のトーラス多面体
幾何学的多面体要素：面24・点18・線45
綿棒による構成要素：結節点24・単位面(□12＋△24＝)36・単位長線72
正４角形穴のトーラス多面体
幾何学的多面体要素：面16・点16・線32
綿棒による構成要素：結節点32・単位面は全て△の64・単位長線104
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(※)当時、ちょうどそのすぐ後に、ベクトル平衡体をトーラスと同一視する「THRIVE」という内容も入った動画がスライヴ
(THRIVE )が出まわった。リンクは日本語版。
20240115
Monday
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