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■１■プラトン立体の５種に対して、その各頂点から角錐を切り取った形の切頂系のアルキメデス立体が５種ある。切頭４面体で言えば、正４面体の各稜線の両端1/3の位置で、それより頂点側の部分を３角錐で切り取った形と説明される。部分を切り取るという表現から元の立体より小さくなるイメージがある。

■２■しかし綿棒多面体で切頂多面体を１辺１単位長で作ると、２倍体３倍体と逆に大きくしたものから角錐を切り取るので、元のプラトン立体のサイズより大きさることが分かる。これは斜方系、斜方切頂系も同様だ。綿棒多面体の切頂４面体は、３倍体正４面体の４頂点から単位正４面体を切り取った形だ。

■３■この切頭４面体を１本の軸線に５つ集めると、ほぼ円環状になり、しかもそれはきれいなレンズ状になることに突然気が付いて驚いた。冷静に考えれば、正４面体を１本の線に５つ集めると、２面角が約70.5度なので約352.5度とほぼ円環になるので(隙間がそれぞれ1.5度弱)そう驚くことではないのだが。

■４■なおこの切頭４面体を５個に定めず次々と20個を繋げていっても、最終的に球体上に閉じて通常のバッキーボールと同形になる。１つの切頂４面体を机上に置いてみよう。この上層･中層･下層の形状は正３角形･２倍体正３角形･正６角形だが、これがそのまま正20面体･20-12面体･切頂20面体になるのだ。

■５■５環状の切頂４面体を真上から見ると、５重回転対称性を持つ５角形(正確には凹凸15角形状)に見える。また真横から見ると、上下に伸びる球体の共有部的な立体ベシカパイシス楕円型に見える。つまり左右反転しても上下反転しても対称性は変わらず、さらに無限に連鎖する２重回転対称性を有するのだ。

■６■バッキーボールの５重回転対称軸は６軸あるので、12方向に無限連結できるということだ。なおバッキーボールは重心を介して対面同士は常に36度のよじれがあるので、多重連結のバッキーボールは隣り合わせ同士で36度のずれを生じ、５重回転対称性は偶数個ごとに(36×２＝72度)対称性を取り戻す。

■７■この５環状切頂４面体をＡ・Ｂと２つ作り、正20面体を間に挟んで接続すると、第１層となる正20面体の上の５面と下の５面に対応することが分かる。この鼓状の立体は、見方によっては左右の脳や肺の形にも見える。イメージを膨らませば昼と夜・男と女・ツォルキンの左右と中央柱の全体にも思える。

■８■そしてさらに切頂４面体を上下交互に配置された10環状トーラス形体(Ｃパート)を作り、中央の第１層を形成する正20面体部分で未だ被覆されていない10個の正３角形の上に被せると、Ａ-Ｃ-Ｂそれぞれの形がぴったり接続して、全体でバッキーボールとなることが分かる。(ただし重なる線は１本にする。)

■９■５重回転対称性の立体はみな６軸12方向の５重回転対称軸を持つが、この１つの綿棒多面体のバッキーボールもまた、12方向に重畳連結が可能だということだ。文字列メインの説明では分かり難いので、仮の作品として動画に編集したものをネット上にあげておいた。興味のある人は動画も是非ご覧あれ。

■参考動画⇒ YOUTUBE　『みんな健やかに』…切頂４面体20個からバッキーボールを作る

20240114 Sunday