■１■プラトン立体の諸要素には<３-４-５>の法則があった。つまり正４面体･正８面体･正20面体の面形は正３角形、正６面体の面系は正４角形(正方形)、正12面体の面系は正５角形であり、また正４面体･正６面体･正12面体の各頂点に集まる線数は３本、正８面体には４本、正20面体には５本が集まっている。
■２■｢斜方20-12面体｣の要素は点数60・線数120・面数62だが、その62面の内訳は正３角形が20・正方形が30・正５角形が12である。一方正12面体の諸要素は点数20・線数30・面数12だ。これらの数値はなぜ等しいのだろう。それを確かめるため中心に正12面体を据え、その上に｢斜方20-12面体｣を作ってみよう。
■３■正12面体と斜方20-12面体は、１辺１単位で作ると共に不安定で自立しない。しかしこの２者を内外２層にすると、下層の前者と上層の後者は、20の頂点と20の正３角形が正４面体で連結し、30の稜線と30の正方形が正４角錐で連結し、12の正５角形は頂点で繋がる２つの正５角錐で連結することが分かる。
■４■つまり下層正12面体の<点･線･面>が、上層斜方20-12面体の<正３角形･正方形･正５角形>に連結していることが見て取れるのだ。正12面体本体の30本、斜方20-12面体本体の120本、連結部の正４面体分(３×20＝)60本、正４角錐分(４×30＝)120本、正５角錐対の(10×12＝)120本の総合計450本が必要になる。
■５■実はこれは１辺１単位で自立する斜方20-12面体を作るための作業でもあるのだが、より正確に言えば正12面体の<点･線･面>が、斜方20-12面体面の<正３角形･正方形･正５角形>３種の面に、<20-30-12>という数値を介して対応しており、内と外に連結することが可能だということを確認する作業でもあった｡
■６■だから正確に言えば、正３角形面は最初からそのままで、正方形面には正３角柱でなく正４角錐を入れ込み、正５角形面には正５角錐で補強するだけで、自立する斜方20-12面体(120＋120＋60＝300本)はできる。これに正12面体の頂点から３本ずつを立て、面から５角錐を立てれば２重の結合立体になる。
■７■正12面体の線から４本を立てて正３角柱で正方形に接続することと、斜方20-12面体の下向きの正４角錐を開いて正12面体の線に接続することとは同じことである。ここにあと150本(正４面体接続用の60本＋正12面体のダ・ヴィンチの星の90本)を加えれば、２立体の対応と実際の接続が見て取れるのである。
■８■また当然だが正12面体の内部にはさらに大星形12面体や小星形12面体の入れ込みが可能だし、別系統として正12面体からは内側に５芒星12面体を、外側に20-12面体が連結でき、そこからさらに正20面体に連結可能だ。つまり正20面体・20-12面体・切頂20面体のバッキーボールとも連結することもできる。
20240108
Monday
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