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■１■５つのプラトン立体の頂点を切り落とすことで、５つの切頂多面体ができる。切頂20面体(バッキーボール)は３重の綿棒多面体として他所で制作されることがある。切頂12面体は、後に斜方切頂20-12面体製作の時にその内部で作ることになるだろう。残る３つは綿棒多面体的にはあまり注目されていない。

■２■プラトン立体の双対関係は(1)正４面体⇔正４面体、(2)正６面体⇔正８面体、(3)正12面体⇔正20面体の３種類だった。頂点を回転対称軸に沿って正多角錐として切り落として行く過程を｢回転｣に重ねて、双対立体の面点変換を表現してみよう。すると180度の位置には相貫体の重畳部分の形の立体がくる。

■３■１回転360度すると双対の立体になる。(1)の場合は正４面体⇔切頂４面体⇔正８面体⇔切頂４面体⇔正４面体となり、(2)の場合は正６面体⇔切頂６面体⇔ベクトル平衡体⇔切頂８面体⇔正８面体と双方向に回転する。同様に(3)の場合は正12面体⇔切頂12面体⇔20-12面体⇔切頂20面体⇔正20面体と連結する。

■４■１回転で面点変換が完了し、２回転で元の形に戻る。正６面体が外側に１度面点変換すると、体積比が１：８の正８面体になり、正８面体が外側に１度面点変換すると、体積比が２：９の正８面体になる。２回転することで体積比が１：27の正６面体に戻る。面点変換の90度と270度に切頂多面体が入る。

■５■切頂４面体は頂点12,辺数18,面数８(＝正３角形４＋正６角形４)の立体だ。これを綿棒で作ってみよう。まず６芒星を４面作り貼り合わせることで製作できる。使用本数は最小の24本だ。この場合切頂４面体の18本の線は実際の物質としては存在せず、12個の頂点を幾何学的にイメージで結ぶことになる。

■６■もう１つのシンプルな作り方は倍の48本が必要だ。まず中心に１つ正４面体を据え、その４面に正８面体を立ち上げる。それらの間を６本で繋ぐことで、正６角形が４つできて、１辺１単位の切頂４面体が完成する。この切頂４面体の４頂点に正４面体付けると、３倍体の正４面体になることが分かる。

20240107 Sunday