■１■立体幾何学の用語では、全ての面が正多角形でしかも頂点の形状がみな同じ立体のことを｢一様多面体｣という。これには全ての面が同じ正多角形からなる｢プラトン立体｣が５種類、さらに２種類以上の正多角形で構成されている｢アルキメデス立体｣というものが13種類ある。すでに｢プラトン立体｣は見た。
■２■対称性が高い多面体は他にも多々あるが、たじろぐ必要は全然ない。論理や計算だけが理解の道筋ではない。思考とは別に自らの指先で作れば思い出すこともあるだろう。学問としてただ学ぶのでなく、発見の驚きと美しさを味わいつつ楽しむことが大切だろう。取り敢えず｢アルキメデス立体｣を見よう。
■３■上の全体構造図を見てみよう。プラトン立体の５種とアルキメデス立体の13種が着色してある。アルキメデス立体の双対立体も13種あるので、全部で31種の多面体の全体と相互の関係を示してある。なおプラトン立体の双対立体はプラトン立体である。複雑に見えるが慣れればかなりシンプルにも見える。
■４■左から縦３列目の５つのプラトン立体のすぐ右に、それぞれに｢切頂｣と付いた名前の５種類がある。｢切頂｣とは各多面体の頂点部から一定の比率で正多角錐を切り落とすという意味だ。｢切頭｣と呼ぶこともあるが、｢頭を切る｣が首を斬るという物騒なイメージもあるので、最近は｢切頂｣と呼ぶのが主流だ。
■５■双対立体である正６面体と正８面体を相貫させた時の重乗部分が｢ベクトル平衡体｣であり、その双対立体が｢菱形12面体｣であることは既に見た。同様に正12面体と正20面体を相貫させた時の重乗部分が｢20−12面体｣であり、その双対立体が｢菱形30面体｣である。これは全体図の右から縦２列目に示してある。
■６■プラトン立体の左隣にある変形立方体と斜方立方８面体、及び変形12面体と斜方20-12面体はよく似ている。最右端にいる斜方切頭立方８面体と斜方切頭20-12面体があるが、その名前はまるで長い呪文のようだ。白黒で表わしたアルキメデス立体の双対立体は、各面が正多角形でなく辺長も１種類ではない。
■７■プラトン立体５種、アルキメデス立体13種、そしてアルキメデス立体の双対が13種で全部で31種だ。なお１辺を綿棒１単位でできる最大の多面体は右下の斜方切頂20-12面体で一部では｢オオモノヌシ｣とも呼ばれる。そしてその双対の｢６方20面体｣は別名をUVG120とも呼ばれる｢惑星グリッド｣の形でもある。
■８■プラトン立体が太陽系の各惑星だとすると、アルキメデス立体やその双対立体群はいわば各惑星の衛星群のようなイメージで、一度に全て覚える必要もないし、ただ数値や各部の形状のデータだけ記憶しても面白くはないので、興味のある立体から身体感覚に落とし込みつつ気長に知って行く方が楽しい。
(※)wikipediaのページ⇒ アルキメデスの双対(カタランの立体)
20240107
Sunday
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