■１■ダ・ヴィンチの星とは、プラトン立体の各面に正多角錐を貼り合わせた立体だ。正多角錐の側面は全て正３角形なので、全体もまた全て正３角形からなっている。プラトン立体が５種類なので、そのダ・ヴィンチの星もまた５種類ある。ルネサンス期のレオナルド・ダ・ヴィンチが考え出した凹多面体だ。
■２■ダ・ヴィンチは1509年出版のルカ・パチョーリの著書『神聖比率』の挿絵版画用に、正多面体骨格モデルのドローイングを複数描いている。当時の画家や研究者はこのような多面体のスケルトン構造モデルを多数描残しているが、内部や反対側の構造が見える点は現今の綿棒多面体に通じるところがある。
正８面体と正６面体の反ダ・ヴィンチの星(＝｢時の種｣)
と｢ワンダース20｣
■３■正８面体のダ・ヴィンチの星はケプラーの星形８面体としても有名だ。また正12面体のダ・ヴィンチの星は#006ですでに見た。綿棒多面体の探究上、このように多面体の外側に角錐を立てるのとは逆に、内側に角錐を入れ込む操作をすることが多々ある。このような操作を反ダ・ヴィンチの星化と称する。
■４■正６面体及び正８面体の反ダ・ヴィンチの星化によって、動く綿棒多面体の最初である｢時の種｣が発見された。正12面体の反ダ・ヴィンチの星化は、すでに#006で見たように大星形12面体を形作る。正４面体は反ダ・ヴィンチの星化しても元の正４面体と５重に重なり、４次元多胞体の１つと見て取れる。
正20面体に正８面体が20入った｢20-20｣、各正8面体に正４面体が20個あると400個
■５■プラトン立体以外にも、各面に角錐を立ててダ・ヴィンチの星的な造形は可能だが、アルキメデス立体や複合多面体や相貫体に対してもこの反ダ・ヴィンチの星化の操作は可能である。この正反ダ・ヴィンチの星化の操作によっても、基本単位は綿棒１本のまま多重構造の綿棒多面体を作ることができる。
■６■さらにこの内側に多角錐を入れ込むという発想の延長線上で、プラトン立体に異なるプラトン立体を多重に入れ込んだ綿棒多面体というものが生まれた。正８面体の中に正４面体を12本の線と８面に対して20個入れ込んだ｢ワンダース20｣や、正20面体の中に正８面体を20個入れ込んだ｢20-20｣その他である。
20240106
Saturday
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