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■１■正６面体と正８面体の系は、私たちの眼筋が３軸方向への回転機能でできていたり、三半規管が重力方向及び前後・左右方向への加速度で自らの平衡感覚を捉える仕組みであったりと、私たちの身体構造そのものが直交３軸の系で世界を捉えている現実と非常に馴染みが良いが、そこに囚われ易くもある。

■２■正12面体と正20面体の系は、２重15本,３重10本,５重が６本と回転対称軸が合計31本ある。特に５重回転対称軸は黄金分割比とも深く関わっており、準結晶という単純な繰り返しのない重畳構造を３次元空間にはもちろんだが、ミクロ-マクロ方向にも展開している。何はともあれ正20面体を作ってみよう。

■３■正20面体の要素は点12,線30,面20なので、綿棒30本を用いて製作する。様々な作り方があるが、基本は１点には必ず５本の線が集まるということだ。先ず正５角形をつくり、それを正５角錐にする。さらに１点に２本ずつつけてヒトデ型にして立ち上げる。頂点を正５角形につなげて、正５角錐で閉じる。

■４■正20面体は自立するが、正20面体の各面は正５角形なので、内部に正５角錐を付けて補強する必要がある。12面全部に補強を入れ込むと、その形自体が｢大星形12面体｣になる。さらにその間隙に30本の綿棒を星形に入れ込むと、｢小星形12面体｣ができる。共にケラー・ポアンソ立体という凹多面体である。

■５■大星形12面体は60本からなり、小星形12面体は30本からなる。もちろん補強は外側に向けて成すこともできる。60本で外側に12の５角錐を立てた形は、正12面体のだ・ヴィンチの星という形状になる。これらは全て黄金分割比φが関与している。使用本数は中心側から(30＋60＋30＋60＝)180本である。

正20面体、及び全部乗せ正12面体の５重と３重の回転対称軸よりのビジョン

20240105 Friday