#004 ベクトル平衡体を作る

■１■正６面体と正８面体は互いに双対立体だ。どちらの立体もその頂点を回転対称軸に垂直の面で角錐として順次削って行くと、元々の稜線が短くなって行き、線心でついに点になる。さらに削って行くとその稜線が90度回転して直交方向に伸びていく。そしてその線が再接続する点が双対立体の頂点になる。

■２■正６面体と正８面体をそれぞれの12本の稜線の線心で交差させると、正８-６相貫体になる。共通部分はベクトル平衡体となり、頂点を結んでできる立体は菱形12面体だ。正４面体、星型８面体、ベクトル平衡体、正６面体、正８面体、正８-６相貫体、菱形12面体の体積比は２:３:５:６:８:９:12である。

■３■この菱形12面体各面の対角線の比は１：√２(≒1.4142…)で、白銀比と呼ばれている。ベクトル平衡体は正６面体の６面由来の正方形６面体と、正８面体由来の正３角形８面からなる14面体だが、正方形は重力で歪む。そこで内部に６軸12本を補強し、ケプラーの星形８面体と同様の36本で作ってみよう。

■４■制作方法は沢山あるのだが、そのうちの１つを見ていこう。まず12本を用いて正３角形６個からなる正６面体を作る。その中心点から正４面体を逆立させる。その３頂点と底面の正６角形の間を、正３角形と正方形が交互になるようにつなぐ。それをひっくり返し、上下60度ずれる形で同様の操作をする。

■５■なおこのベクトル平衡体の６面ある正方形から、正４角錐を６つ立てると２倍体の正８面体になる。ケプラーの星形８面体を作った時、２倍体の正４面体の中には１辺１単位の正８面体が入っていたが、同様に２倍体の正８面体の中には１辺１単位のベクトル平衡体が入っていることも見て取れるだろう。

20240105 Friday