■１■プラトン立体５種類はさらにそれぞれの双対(面点変換できるペア)として、(1)正４面体(ペアは自分自身)、(2)正６面体と正８面体のペア、(3)正12面体と正20面体のペアの３種に分類できる。その中で正４面体だけが、回転対称軸上の対が<面-点>になっており、面点変換しても向き付けが逆の自身になる。
■２■ミクロ-マクロ方向にどこまでも面点変換が続く正４面体の、面点変換前後での２つの体積比は１：27だが、この２つの正４面体の体積比を１：１にして同一空間に相貫させた形が、ケプラーの星形８面体だ。この形状の中から共通部分としての正８面体と、頂点を結んだ形状としての正６面体が生まれる。
正８面体に正３角錐８つ付けた形と、綿棒を交差させて作った形
■３■このケプラーの星形８面体を綿棒で作る方法は２つある。まず一番シンプルなものが、まず正８面体を作ってから、その８面に３角錐を８つ立てるというもので、全部で36本用いる。もう１つは綿棒自身を｢Ｘ｣字に直交させたものを６面として、12本で作る方法だ。これらは体積比１:８のサイズ比である。
■４■正４面体の２面角は70.5度であり、中心角は109.5度である。２者を合わせると平角180度になるが、このケプラーの星形８面体から生じる正８面体の２面角は109.5度であり、２面角は180度の１／２の直角90度である。また正６面体の中心核は79.5度であり、２面角は90度になっている。共に線数は12本だ。
■５■最も少ない要素(点４,線６,面４)からなる正４面体が２つ重なってできる正６面体と正８面体の線数は、正４面体２個分であり、２立体の面の和(６＋８＝)14と点の和(８＋６＝)14は、正４面体の要素の和(４＋６＋４＝)14に等しい。星形８面体の各面における対角線の比１:１は｢赤胴比｣とも呼ばれている。
20240105 Friday
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