#059 綿棒多面体｢ミワカキヒロタカ｣(2)

■１■５芒星20-12面体上には６軸方向で互いに対になった５角錐が12個ある。この底面の正５角形の各頂点の間にも５つの頂点があり、それらは10芒星を形作るように噛み合っている。この10芒星同士の間の距離は１単位なので、36度ずれた正５角柱が２つ相貫した形、あるいは10角柱があると見る事もできる。

■２■この10芒星の対を繋いでいる10本の線は中心軸をぐるりと帯状に囲んでいる。さらにその１本１本から左右に正３角形が伸びていて、これらが互いにかみ合って連続する10個の６芒星の帯を形成している。そしてその帯が６軸方向に絶妙に絡まり合って、｢ミワカキヒロタカ｣の表面を覆っているのである。

■３■この１辺１単位の６芒星が10個連結している帯が６つ、５重回転対称軸の赤道面を包んでいる状態は、ただ目で追って行くだけでは直ぐに見失ってしまいがちだ。その特性が分かり易いように色分けをすれば、目で見て捉えることができるが、他の複雑に入り組んでいる特性が見えなくなる難しさがある。

■４■この画像は本体をぐるりと取り巻く10本の平行線ごとに６色で着色したものだが、それら同士がまた120度ごとに交差し噛み合っていることや全体における幅などは分かるが、１つ１つの６芒星と12個の５芒星(ここでは白色で示している)を構成する線同士の位置や角度の組み合わせは逆に非常に分かり難い。

■５■この綿棒多面体｢ミワカキヒロタカ｣は、今見た上下の５角錐と間の正５角柱が合体した形の15面体が、６重に自己相関した立体としても見ることができる。しかし上下の５角錐は互いに36度ずれており、正５角柱の上下も36度捩じれているので、正５角柱も高さはそのままで捩じれているとも見て取れる。

■６■つまり端的に言えば、｢ミワカキヒロタカ｣は正20面体の側面部分にある10個の正３角形が、上下に少しだけ延びて２等辺３角形になった変形20面体が、６重に自己相関してできている形であるとも表現できるということだ。なおこの正３角形と２等辺３角形の斜辺の長さの比は１：√５／２≒１：1.118だ。

■７■さらに言えば、上述の５角柱を抜き去り単に正５角柱５角錐が12個重なり合った立体として見ることもできる。これら12個の５角錐がそれぞれ軸に沿って外側に移動して、底面が正12面体の形になる位置までくれば、正12面体のダ・ヴィンチの星(正12面体の各面に辺長比１の正５角錐を立てた形)になる。

■８■正12面体のダ・ヴィンチの星の各面は正３角形だが、バッキーボール(切頂20面体)の双対立体である５方12面体の各面は正３角形から少しずれた２等辺３角形になっている。この微差異を有する２立体は、正12面体や正20面体、切頂12面体や切頂20面体などと共に上位多胞体の断面や射影であると解される。

■９■このミワアキヒロタカもより正確にみれば、全体を黄金比φ(１：1.618…)と白金比(１：√３＝１：1.732…)が混在しているので、より詳細に全体構造を見る必要がある。このような僅かな差異にこそ、３次元空間と他の次元を繋ぐ鍵が、あるいは上位多胞体の断面を覗き込む隙間があるのかも知れない。

20231230 Saturdaycs