E017

■１■私たちが思考する時、そして世界を捉え表す時に、「数」の概念と「数える」という行為は非常に深いところで関わっている。数の概念は時代の要請によって順次拡張されてきた。「自然数」と言う名すら不要だった数の中に「ゼロ」が発見され、それを中心に対に連なる正と負の数を「整数」と呼んだ。

■２■やがて２つの整数ａとｂを用いてa／bという分数で表せる数（ただしｂ≠０）を「有理数」、表せない数を「無理数」と呼び、合わせて「実数」と呼んだ。この後、数の概念は「ａ＋ｂi」(a,bは実数、i は虚数単位)の形で表される「複素数」に拡張する。b＝０の時「実数」、a＝０の時「虚数」である。

■３■ニュートン力学に虚数は必要ない。また電気と磁気の相互作用に関する電磁気学でも必要なのは実数だけだ。アインシュタインの特殊相対性理論も虚数なく成立する。物理学で虚数を必要とするのは１／100,0000,0000(百億分の１)ｍ以下の世界での原子や電子の振舞い、つまり量子力学においてである。

　　

■４■量子力学の基礎であるシュレディンガー方程式には、冒頭にいきなり「ｉ」がある。ｉは２乗して－１になる虚数単位。量子力学は虚数や複素数を前提に成立している物理理論だ。しかし難しい学問だからと無関係を決め込んでもいられない。スマホやパソコンも含む現代の科学技術の土台なのだから。

■５■量子力学が記述する素粒子の世界では、物質が粒子と波動の性質を同時に持っており、また１つの物質が同時に複数の場所に存在する。物質が壁を通り抜けたり、何もないところから物質が生じたり消滅したりもする。このような不思議な振舞いは、これまで述べて来た４値論理と似てはいないだろうか。

■６■有と無の２値的論理では記述仕切れない領域だ。いや現代物理学の最先端との直接的対応は荷が重すぎるので、その基底にある虚数との相似性を見てみよう。複素数ａ＋ｂiの内の、ｂが０で「ａ」だけの形が「実数」、ａが０で「ｂi」だけの形は「純虚数」、そしてそれ以外は全て「複素数」である。

■７■虚数単位ｉの自然数的な累乗を複素平面の上に見れば、反時計回りに90度ずつ回転して「ｉ,－１,－ｉ,１」と４つの値を繰り返す。ところでこのｉ,－１,－ｉ,１の４数は、どれもみな４乗すれば１になる。つまり４数とも１の４乗根なのである。これを見ても虚数が４値論理的であることは見て取れる。

　　

■８■１の４乗根は虚数単位ｉの累乗と重なり、複素平面上を90度ずつ位相をずらせて回転する。ではさらに進んで－１の４乗根というものは有りうるのだろうか。計算を省略して答を示すと、－１の４乗根は複素平面の単位円上で、１の４乗根と45度位相がずれた４つの位置で90度ずつ回転するのである(※)。

■９■実数は１次元の「数直線」に対応し、虚数は２次元の「複素平面」に対応しているが、それでは３次元に対応する「数」というものはあるのだろうかと考えて、アイルランドの数学者ハミルトン(1805?1865)は、１個の実数と３つの虚数からなる「四元数」というものを考えた。これは確かに４値である。

　　

■10■３つの虚数はｉ,ｊ,ｋで表され、この３数はいずれも２乗すると－１になる。またｉ×ｊ×ｋ＝－１という規則が成立する（ただし実数や複素数の掛け算では交換法則が成り立たない）。この他にさらに「八元数」と言う者も考えられているが、実際に役に立つものかどうかは現今では不明のままである。

■11■数の拡張が物理学を拡張させ、物理学の拡張は社会生活や常識に反映されていく。通常世界ではニュートン力学が充分機能するように、日常生活では２元分別的世界認識や論理も有効だ。しかし世界が変わりゆきつつある現今、私たちの思考にも４値論的発想が浸透してくるのも１つの流れかも知れない。

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(※)　　ｘ^４＝－１
　√2／２＋i√2／２＝　cos45°＋isin45°＝　0.707106781＋0.707106781i
－√2／２＋i√2／２＝－cos45°＋isin45°＝－0.707106781＋0.707106781i
－√2／２－i√2／２＝－cos45°－isin45°＝－0.707106781－0.707106781i
　√2／２－i√2／２＝　cos45°－isin45°＝　0.707106781－0.707106781i

４の歌Ｅ第17曲　