• （B006)　古典論理と非古典論理

■１■一言で言えば古典論理学とは「命題論理」と「述語論理」のことだ。「述語論理学」とは命題論理に「すべての(∀)」と「ある(∃)」が加えられた論理学体系である。基本的に古典論理学は真理値が「真」と「偽」の２値しかないが、元祖のアリストテレスも決定不能という３値論理の種も口にしている。

■２■正方形が菱形の特別な形であるように、ユークリッド幾何学は非ユークリッド幾何学の特殊なものだ捉えられる。比喩の横滑りだが、同様に２値しか取らない古典論理学は、多値論理の特殊なケースであると解することができる。２値論理は理想的な概念世界では機能するとしても，現実にはそぐわない。

■３■「非古典論理」には、古典論理における仮定をすべて認めた上で新たな仮定を付け加えることによって構築された論理と、古典論理におけるいくつかの仮定を否定または置き換えによって構築された論理とがある。前者では古典論理のすべての定理がその論理体系でも通用するが、後者ではそうではない。

■４■古典論理の拡張としての非古典論理では、まず古典論理の対象でない「様相」と呼ばれる「〜は必然的に真」や「〜は可能である」といった必然性や可能性などを扱う「様相論理」がある。様相論理では一般に、必然性演算子「 □ 」と可能性演算子「 ◇ 」の２つの演算子が標準的論理体系に追加される。

　　

■５■またさらに様相論理に基づいた時間との関連で真理値が変化する問題を理解し表現しようとする「時相論理」、さらにある条件が時間の経過により最終的にどうなるかなどを、独自の時相様相作用素を用いて論ずる「線形時相論理」、義務と権利などの概念を扱う論理学の１つの「義務論理」などがある。

■６■古典論理の代替としての非古典論理には、排中律を認めない「直観論理」、「真偽」の２値以外にも複数の真理値を取る「多値論理」、論理結合子「ならば」と実質含意の乖離を再検討した「適切さの論理」、矛盾を特別な方法で扱う「矛盾許容論理」、部分構造論理の一種である「線形論理」等がある。

■７■直観主義論理は古典論理学における「無限」の無規定な使用に反対し、証明は構成的に行われるものだと主張し、「排中律」を認めない。また「否定導入の背理法」(Ａを仮定して矛盾をだし、¬Ａを証明する)は認めるものの「否定除去の背理法」(¬Ａを仮定して矛盾をだし，Ａを証明する)を認めない。

■８■多値論理とは、真理値を２個ではなく３個あるいはそれ以上の有限個、あるいは無限個とした論理体系である。なおコンピュータの論理回路は２進法２値論理のみと思われていがちだが、様々に多値論理的活用が為されている。またファジィ論理は真理値集合を０以上１以下の実数の集合多値論理である。

■９■適切さの論理は、最も重要な論理結合子「もし〜ならば」が、私たちが日常の思考や推論で用いている条件関係・含意関係・帰結関係等の実質含意を古典論理における実質含意よりもより忠実に表現し、扱うことを目的として構築された論理である。矛盾許容論理及び線形論理は部分的で全体的には弱い。

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４の歌 Ｂ-６曲