053−正６面体の面線変換
　
　正６面体を面点変換すると正８面体になった。この２者の相貫体の角錐部を全て取り払うとベクトル平衡体となり、逆に角錐の各頂点を結ぶと菱形１２面体になった。ではこの２つの回転を１つの回転と見る、ひとつ深い対称性を見てみよう。

　最初に正６面体の頂点を切頭化していき、最初の面が全てなくなると正８面体になったように、正６面体の線を最初の面が全てなくなるまで切頭化していくとどうなるだろう？下図のように菱形１２面体となるのである。

　

 　　 　
　054−正12面体の面線変換
　
　同様に正１２面体を面線変換したらどうなるだろう。下図のように今度は菱形３０面体が現れる。プラトン立体の面点変換の過程で現れたアルキメデス立体。そのアルキメデス立体の双対立体の菱形１２面体と菱形３０面体への圧縮スピン。プラトン立体の線の重要性に注意。

　なお途中の過程で切頭８面体及び切頭２０面体に似た形が現れるが、その線が面になっている６角形は決して正６角形にはならないので、それらのアルキメデス立体は出現しない。



 　　 　
　055−アルキメデスの角柱と反角柱
　
　１７世紀初頭、天文学者でもあるヨハネス・ケプラーは、正規な１３種類のアルキメデス立体以外の、側面が正方形で、上下の面が正多角形である正多角柱もまた、「２種類の正多角形に囲まれ、全ての頂点に同数の線が集まる立体」である準正多面体（アルキメデス立体）の特徴を呈していると言及した。（アルキメデスの角柱）

　また同様に、側面が全て正３角形である反多角柱（アルキメデスの反角柱）の２つの組も準正多面体であることを示した。正４角柱が正６面体であること、及び反３角柱が正８面体であることに注目せよ。



 　　 　
　056−アルキメデスの角柱と双対立体
　
　通常のアルキメデス立体と同様に、このアルキメデスの角柱にも双対立体が存在する。それらの面点変換された立体をアルキメデスの多角錘対という。全ての側面は３角形だが、正３角形ではない。それらを下にその相貫体と共に示す。



 　　 　
　057−アルキメデスの反角柱と双対立体
　
　アルキメデスの角柱は各頂点に３本の線と３つの面が集まっていたが、アルキメデスの反角柱は各頂点に４本の線とうつの面が集まっている。このアルキメデスの反角柱にも面点変換できる双対立体が存在する。その立体の各面は凧のような形をしているので、凧形対多面体(trapezohedra)と呼ばれている。

　アルキメデスの反角柱で上下の面が正３角形の立体は正８面体であると言ったが、そのアルキメデスの反角柱の双対立体である凧形対多面体が正６面体である。正８面体はアルキメデスの反角柱の特別な形であり、正６面体は凧形対多面体の特別な形であるという分かるだろうか。