正５角形の頂点を１つ飛びにつなぎながら最後に元の点に戻ると星の形になる。その５頂点を持つ星形の中には新しい正５角形ができている。それぞれの線が他の線と交差してできた線分と元の線分、及び最初の正５角形の辺長は、それぞれみな黄金分割比の関係にある。 この形を５芒星(regular star-pentagon,or pentagon)と呼ぶ。紀元前５世紀の頃、ピタゴラスの一派はこれを自分たちのシンボルとしていた。
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| 058−正５角形と５芒星 |
正５角形の頂点を１つ飛びにつなぎながら最後に元の点に戻ると星の形になる。その５頂点を持つ星形の中には新しい正５角形ができている。それぞれの線が他の線と交差してできた線分と元の線分、及び最初の正５角形の辺長は、それぞれみな黄金分割比の関係にある。 この形を５芒星(regular star-pentagon,or pentagon)と呼ぶ。紀元前５世紀の頃、ピタゴラスの一派はこれを自分たちのシンボルとしていた。
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| 059−ケプラーの小星形１２面体 |
ケプラーはこの５芒星１２枚の頂点と線の交差した点をつなぐことで立体ができることに気がついた。この立体は正多面体としての条件を満たしていた。１２の面、１２の頂点、そして３０本の線。プラトン立体と異なるのは、それがただ凹多面体であるということだけだった。 この正１２面体の対称性を全て持っている立体の名は、小星形１２面体(small stellated dodecahedron)という。
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| 060−ケプラーの大星形１２面体 |
ケプラーはまたこの５芒星１２枚を、５芒星の頂点を５つ結合させる代わりに３つ結合させることにより、やはり星形の立体となることも考えていた。この１２の面、３０本の線を持つが、頂点が２０個あるこの立体は大星形１２面体(great stellated dodecahedron)と呼ばれている。 小星形１２面体の突出部が５角錘だったのに対し、大星形１２面体は３角錘である。それぞれ頂点をつなぐと正２０面体と正１２面体になり、また全ての角錐部分を取り払うと、それぞれ正１２面体と正２０面体になる事実に注目のこと。
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| 061−ポワンソの大１２面体 |
２世紀後にルイ・ポワンソがさらに２つの正多面体を発見した。その内の１つは１２面のせい５角形からなっている。この１２面、３０本の線、１２の点からなる驚くべき立体は大１２面体(great dodecahedron)という名前である。これらの正５角形の面は互いに交差し合うことにより、面が盛り上がっている。
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| 062−ポワンソの大２０面体 |
ポアンソの２つ目の立体も驚くべきものである。２０枚の正３角形が互いに交差し、貫きあってできているこの立体は大２０面体(great icosahedron)といい、やはり１２の頂点を３０本の線で結んだ形状をしている。
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| 063−ケプラー・ポアンソ立体 |
以上４つの立体はケプラー・ポアンソ立体と呼ばれている。５つのプラトン立体と合わせて、数学者は「９つの正多面体」と表現する。これ以上の正多面体は存在しないことが証明されている。それぞれ下に示した形が交差し、組み合わさってできていることを再確認のこと。
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