右手系と左手系の選択を正２０面体の上で見てみよう。下図のように１面を固定すると、残る３面は右手系か左手系かで２種類の選択が可能になる。正４面体はこの双方を内包していることに注意。
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| 046−右手系と左手系 |
右手系と左手系の選択を正２０面体の上で見てみよう。下図のように１面を固定すると、残る３面は右手系か左手系かで２種類の選択が可能になる。正４面体はこの双方を内包していることに注意。
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| 047−ベクトル平衡体と菱形12面体の双対性 |
プラトン立体と異なり、アルキメデス立体は他のアルキメデス立体と双対関係にはない。これらを面点変換すると、新たなアルキメデス立体の双対立体となる。ベクトル平衡体を面点変換すると、菱形１２面体となる。 分かり易いようにその中間に、この２立体の相貫体を示しておこう。ベクトル平衡体には正３角形と正方形の２種類の面があるが、これらが菱形１２面体では４本の線が集まる点と３本の線が集まる点になっていることに注目のこと。
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| 048−正20-12面体と菱形30面体の双対性 |
上図のような＜正６面体と正８面体＞の系におけるベクトル平衡体と菱形１２面体の相対関係は、そのまま＜正１２面体と正２０面体＞の系においては、正２０−１２面体と菱形３０面体の関係となる。 菱形１２面体も菱形２０面体も、１点に同数の線が集まっていないので、アルキメデス立体ではないことに注意。
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| 049−切頭４面体と３方４面体の双対性 |
次に＜正４面体−正４面体＞の系におけるアルキメデス立体である切頭４面体の相対立体を見てみよう。切頭４面体を面点変換すると、３方４面体(triakis tetrahedron）という立体になる。この立体は正４面体の４面の中心が盛り上がってさらに３面になった形状をしている。面点変換という回転と、その中間点における相貫体をチェックのこと。 |
| 050−捩れ正６面体と捩れ正12面体の双対立体 |
捩れ正６面体には２４の頂点があり、また捩れ正１２面体には６０の頂点があった。またその双方の全ての点には５本の線が集まっていた。そしてその双対立体はその全ての面が５角形をしている。前者は全部で２４面を持つ５角２４面体(pentagonal icositetrahedron)であり、後者は全部で６０の面を持つ５角６０面体(pentagonal hexecontahedron)である。 捩れ６面体と捩れ１２面体だけは、鏡面対称性を持っていなかった。この双対立体の各面は正５角形をしていないことに注意。
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| 051−アルキメデス立体の双対立体データ |
同じように他の全てのアルキメデス立体にも、その双対立体が存在する。つまり１３種類ののアルキメデス立体には１３種類の双対立体があるので、全部で２６種類存在している。プラトン立体からここまでの階層と対称性について、よく考えること。
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| 052−アルキメデス立体の双対立体の形 |
下図は１３種類あるアルキメデス立体の双対立体である。各々の立体間の関係性と対称性、アルキメデス立体との対称性、そしてプラトン立体との関係性の対称性を立体的に確認できるだろうか。全ては正４面体から出発し、そして正４面体へと回帰していく。 理性の探求の地図は今後も続く。真の美しさは対象の属性ではなく、対象と対象の間の関係性の中にある。繰り返すが苦痛ではなく、その美しさを感じること。
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