038−正６面体・正８面体とアルキメデス立体
　
　下図左上の緑色の正６面体の８つの頂点を、同じ正３角形になるように刻みつづけてみよう。全ての頂点を削りつづけると、ちょうど中間でベクトル平衡体になり、最終的には右上の正８面体になる。また下図右下の青い正８面体の６頂点を同じ正方形になるように刻んでいくと、中間でベクトル平衡体になり、最終的には左下の正６面体になる。

　この操作を「切頭化(truncation)」と呼ぶ。なお、このさらに中間に位置する立体は、上下とも左から２番目が切頭６面体(truncated cube)、右から２番目が切頭８面体(truncated octahedron)という。これらはベクトル平衡体と共に、準正多面体（アルキメデス立体）という。それぞれの辺長はみな同じあり、したがって全ての面は正多角形である。



 　　 　
　039−正12面体・正20面体とアルキメデス立体
　
　正多面体をプラトン立体と言うが、準正多面体をアルキメデス立体と言う。線の長さ、１点に集まる線の数は共に等しいが、プラトン立体が同一の正多角形に囲まれているのに対し、アルキメデス立体は２種類以上の正多角形に囲まれている。

　下図は正２０面体と正１２面体の関係を同様に示したものである。左から正２０面体、切頭２０面体(truncated icosahedron)、正２０−１２面体(icsidodecahedron)、切頭１２面体(truncated dodecahedron)、正１２面体である。ここでは双方向性を持たせるため、ほぼ同じ大きさで示してある。



 　　 　
　040−自己双対の正４面体とアルキメデス立体
　
　正４面体も同様の操作が可能である。しかし正４面体は自己双対性を持つので、下図のように面点変換の回転における１／４の位置には、やはりアルキメデス立体である切頭正４面体が入るのは同様だが､１／２の位置にはアルキメデス立体ではなく正８面体が現れる。そして３／４の位置には反転した切頭正４面体がはいっていることにも注意しよう。



 　　 　
　041−面点変換の回転１／２と１／４
　
　双対関係にあるプラトン立体において、正１２面体−正２０面体の系の面点変換の中間の立体は正２０−１２面体だった。また正６面体−正８面体の系の面点変換の中間の立体は、正６−８面体（すなわち立方８面体orベクトル平衡体）だった。中間の地点では線央が点になるので、元の立体の線の数がこれらの立体の頂点の数、すなわち１２と３０になっている。

　しかし自己双対の関係にある正４面体−正４面体の系は回転が１つタイトなので、面点変換１／４回転（そして対称的な位置の３／４回転）の時にアルキメデス立体が現れる。この切頭４面体は面が８、点が１２、線が１８である。



 　　 　
　042−プラトン立体の系に直交する面点変換
　
　正６面体−正８面体の系及び正１２面体−正２０面体の面点変換の中間の立体は、それぞれベクトル平衡体と正２０−１２面体だったが、この立体自体を再度面点変換すると、それぞれ菱形１２面体と菱形３０面体になる。

　しかしその面点変換のちょうど中間の立体は、下のそれぞれの右に示したような斜方立方８面体(small rhombicuboctahedron)と斜方20・12面体（small rhombicosidodecahedron)という立体になる。（プラトン立体の面点変換に直交する面点変換の回転の１／２に現れるアルキメデス立体）



 　　 　
　043−さらなる対称性の位置の面点変換
　
　プラトン立体の面点変換の１／２回転に現れるアルキメデス立体はベクトル平衡体と正２０−１２面体であり、その立体自体の面点変換の１／２回転に現れるアルキメデス立体が、上述の斜方立方８面体と斜方20・12面体だった。では次にプラトン立体の面点変換の１／４回転に現れるアルキメデス立体の切頭６面体と切頭１２面体の面点変換の１／２回転に現れる立体を見てみよう。

　それぞれ右に示したように、斜方切頭立方８面体(great rhombicuboctahedron)と斜方切頭20・12面体（great rhombicosidodecahedron)という立体になる。（プラトン立体の面点変換に直交する面点変換の回転の１／４に現れるアルキメデス立体）



 　　 　
　044−捩れ正６面体と捩れ正１２面体
　
　アルキメデス立体の最後の２つの立体は下に示した捩れ正６面体(snub cube)と捩れ正１２面体(snub dodecahedron)である。これらはそれぞれ右手系と左手系があるので、アルキメデス立体は全部で１３種類だが、１５種類であるとも言える。これらは鏡面対称性の面を持たない。

　捩れ正６面体には正方形が６面あり、捩れ正１２面体には正５角形が１２面ある。どの頂点も５本の線と５つの面が集まっており、その面の内の１つだけが前者は正方形、後者は正５角形であることも、見逃してはならない。



 　　 　
　045−捩れ正６面体と捩れ正１２面体
　
　プラトン立体（正多面体）の対称性の間から生まれた、これらの準正多面体は全部で１３種類（もしくは１５種類）である。キリスト教時代の早期にアレキサンドリアの数学者ヘロンとパプスは、アルキメデスがこれらの立体すべてについて記述していると主張している。彼の著作は喪失してしまったが、これらの準正多面体は現在もアルキメデス立体と呼ばれている。