038−正6面体・正8面体とアルキメデス立体
 
 下図左上の緑色の正6面体の8つの頂点を、同じ正3角形になるように刻みつづけてみよう。全ての頂点を削りつづけると、ちょうど中間でベクトル平衡体になり、最終的には右上の正8面体になる。また下図右下の青い正8面体の6頂点を同じ正方形になるように刻んでいくと、中間でベクトル平衡体になり、最終的には左下の正6面体になる。

 この操作を「切頭化(truncation)」と呼ぶ。なお、このさらに中間に位置する立体は、上下とも左から2番目が切頭6面体(truncated cube)、右から2番目が切頭8面体(truncated octahedron)という。これらはベクトル平衡体と共に、準正多面体(アルキメデス立体)という。それぞれの辺長はみな同じあり、したがって全ての面は正多角形である。



    
 039−正12面体・正20面体とアルキメデス立体
 
 正多面体をプラトン立体と言うが、準正多面体をアルキメデス立体と言う。線の長さ、1点に集まる線の数は共に等しいが、プラトン立体が同一の正多角形に囲まれているのに対し、アルキメデス立体は2種類以上の正多角形に囲まれている。

 下図は正20面体と正12面体の関係を同様に示したものである。左から正20面体、切頭20面体(truncated icosahedron)、正20−12面体(icsidodecahedron)、切頭12面体(truncated dodecahedron)、正12面体である。ここでは双方向性を持たせるため、ほぼ同じ大きさで示してある。



    
 040−自己双対の正4面体とアルキメデス立体
 
 正4面体も同様の操作が可能である。しかし正4面体は自己双対性を持つので、下図のように面点変換の回転における1/4の位置には、やはりアルキメデス立体である切頭正4面体が入るのは同様だが、1/2の位置にはアルキメデス立体ではなく正8面体が現れる。そして3/4の位置には反転した切頭正4面体がはいっていることにも注意しよう。



    
 041−面点変換の回転1/2と1/4
 
 双対関係にあるプラトン立体において、正12面体−正20面体の系の面点変換の中間の立体は正20−12面体だった。また正6面体−正8面体の系の面点変換の中間の立体は、正6−8面体(すなわち立方8面体orベクトル平衡体)だった。中間の地点では線央が点になるので、元の立体の線の数がこれらの立体の頂点の数、すなわち12と30になっている。

 しかし自己双対の関係にある正4面体−正4面体の系は回転が1つタイトなので、面点変換1/4回転(そして対称的な位置の3/4回転)の時にアルキメデス立体が現れる。この切頭4面体は面が8、点が12、線が18である。



    
 042−プラトン立体の系に直交する面点変換
 
 正6面体−正8面体の系及び正12面体−正20面体の面点変換の中間の立体は、それぞれベクトル平衡体と正20−12面体だったが、この立体自体を再度面点変換すると、それぞれ菱形12面体と菱形30面体になる。

 しかしその面点変換のちょうど中間の立体は、下のそれぞれの右に示したような斜方立方8面体(small rhombicuboctahedron)と斜方20・12面体(small rhombicosidodecahedron)という立体になる。(プラトン立体の面点変換に直交する面点変換の回転の1/2に現れるアルキメデス立体)



    
 043−さらなる対称性の位置の面点変換
 
 プラトン立体の面点変換の1/2回転に現れるアルキメデス立体はベクトル平衡体と正20−12面体であり、その立体自体の面点変換の1/2回転に現れるアルキメデス立体が、上述の斜方立方8面体と斜方20・12面体だった。では次にプラトン立体の面点変換の1/4回転に現れるアルキメデス立体の切頭6面体と切頭12面体の面点変換の1/2回転に現れる立体を見てみよう。

 それぞれ右に示したように、斜方切頭立方8面体(great rhombicuboctahedron)と斜方切頭20・12面体(great rhombicosidodecahedron)という立体になる。(プラトン立体の面点変換に直交する面点変換の回転の1/4に現れるアルキメデス立体)



    
 044−捩れ正6面体と捩れ正12面体
 
 アルキメデス立体の最後の2つの立体は下に示した捩れ正6面体(snub cube)と捩れ正12面体(snub dodecahedron)である。これらはそれぞれ右手系と左手系があるので、アルキメデス立体は全部で13種類だが、15種類であるとも言える。これらは鏡面対称性の面を持たない。

 捩れ正6面体には正方形が6面あり、捩れ正12面体には正5角形が12面ある。どの頂点も5本の線と5つの面が集まっており、その面の内の1つだけが前者は正方形、後者は正5角形であることも、見逃してはならない。



    
 045−捩れ正6面体と捩れ正12面体
 
 プラトン立体(正多面体)の対称性の間から生まれた、これらの準正多面体は全部で13種類(もしくは15種類)である。キリスト教時代の早期にアレキサンドリアの数学者ヘロンとパプスは、アルキメデスがこれらの立体すべてについて記述していると主張している。彼の著作は喪失してしまったが、これらの準正多面体は現在もアルキメデス立体と呼ばれている。