１，２，３，４を次々に足していく数のことを３角数といいます。日本ではちょうどお米の入った俵をどんどん積んでいく形に似ているので「俵積み数」などとも言うようです。古代ギリシャではこのうちの第１段から第４段までを「テトラクティス」と呼んで重要視していました。名前はどうでもいいのですが、形にするとこうなります（右図参照）。これは１，２，３，４をドリームスペルの４色の関係に合わせてあります。４がまた１０でもあることがわかるでしょうか。

　この形から音の周波数の比で、１：２がオクターブの倍音関係となり、２：３が５度つまりドとソの関係であり、３：４が４度つまりドとファの関係になることも見て取ることができます。数を線的に、つまり１次元的に足していけば、１つ１つ加算されるだけだから、[１，２，３，４…]はそのまま１，２，３，４…となります。ところがこのテトラクティスの球体を足してみれば分かるように、[１，２，３，４…]の３角数は１，３，６，１０…です。これは２次元的な数の和です。ではこれを３次元に立ち上げて見たらどうなるでしょう。

　最初は１個だけの球体です。そして２列目は球体３個からなる３角形です。３列目は３・２・１個で全部で６個の正３角形です。これはすでに見た[３]の３角数と同じです。第４列目は同様に４・３・２・１個の[４]の３角数です。これらを立体的に加算していくと、その球体群の形は正４面体になります。だからこのような立体の数を正４面体数というのです。それぞれ[１，２，３，４…]の正４面体数は、１，４，１０，２０…となります。

　ここで何が言いたいかというと、２次元的な３角数では[４]までで私たちが普通に扱っている１０進法の数１０になりましたが、３次元的な正４面体数では[３]で１０になり、[４]では２０になっているということです。これがそのまま私たちの１０進法とマヤの２０進法の関係であるとは言いませんが、次元が異なると同じものでも異なって現れてくるということの例にはなっているのではないでしょうか。

　電卓は２進法で計算して数値を１０進法に変換表記してくれるので、私たちが２進法について学ばなくてもさほど不自由はありません。しかしマヤの２０の紋章とも関係する２０進法や、ドットとバーで表記される５進法についても暦との関係で見ていく必要があります。したがって１０進法の他にも２進法・５進法・２０進法なども、意識的に認識する必要があるかもしれません。その上で初めて、シュメール・バビロニア起源の１２−６０進法が根底にある、現在のグレゴリオ暦的な発想の功罪を云々できるのではないでしょうか。

　このような発想に基づいて、世界が１２で閉じているという見方をすれば、[１２]という数が単に１次元的にただ１が１２個集まった１２であるというだけではありません。２次元的に見た[１２]という数である３角数は（１＋２＋３＋…＋１２＝）７８です。この数はタロットカードの枚数であり、１３という１２を反転する数ですらも、平面を満たす６という数との積で満杯になっている数であると考えることもできます。また３次元的に見ることができれば、[１２]の正４面体数が３６４であるということにも気づくことができます。決して１３の月の暦とは関係ない話でないということがわかるでしょう。

　さて今回はちゃんと夜なべして、５つのプラトン立体を作って来ました。名前だけでは分からなかったものも、実物を見ること、触ること、こねたり回したりすることで、今まで分からなかったものが分かってくるのではないでしょうか。さてではこの正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体という５つのプラトン立体の全部の面の数はいくつでしょう？

　これは「なめとんのか、こらぁ？」と突っ込まれるかもしれないところですね。名前の中にすでにその立体の面の数が入っているので、それを単純に足せばいいわけですから。しかし今日は「銀河幼稚園ひよこ組」ですから、謙虚に足してみましょう。４＋６＋８＋１２＋２０＝５０ですね。この５０という数は、単に先ほども言った５と言う数の２乗２５の２倍であるというだけでなく、日本語の５０音図や白色矮星シリウスＢの公転周期の５０年とか、色々な数に関係してきます。

　では次にこのプラトン立体の点の数はいくつでしょう。正４面体は既に見た通り４個でした。別名を立方体ともいう正６面体は、いわゆるサイコロの形ですね。このように目の前にしてみれば、その点が上に４個、下に４個の合わせて８個であることが分かります。では正８面体はどうでしょう。正８面体は宮崎駿さんのアニメーション映画「天空の城ラビュタ」では飛行石として出てきた、ピラミッドが２個くっついたような形ですね。石が好きな人ならフローライトの形を連想するかもしれません。こうやって２点を持って見ると、残る点はピラミッドの底面の４頂点だから、全部で６個ですね。



　だんだん難しくなりますが、正１２面体の頂点の数はどうでしょう。ただ見ていても分からないでしょうから、実際に数えてもらいましょう。そこのあなた、お願いします。どうですか？あああ、そのようにくるくる回しすぎては上下もずれてしまって分からなくなりますよ。そうそう、上と下の面を押さえて、上面の正５角形の５個、下面にも５個、そして真中にジグザグになって１０個ありますね。そうです、全部で２０個でした。

　最後の２０面体はどうでしょう。これはあなたにお願いします。え、１６？ああ困ったな、それはちょっと違います。これもただ端から闇雲に数えていっては分からなくなります。例えばこうして上下の頂点で持って、ゆっくり回転しながら数えましょう。１回転してみれば上側に５個、下側に５個ですね。持っている２個と合わせて全部で１２個でした。

　つまり全部で４，８，６，２０，１２でしたね。これらを全部足してみると…。そうです、こちらも５０になりますね。ということは、このプラトン立体の全ての面と点の数を足すと１００になります。１００％、１００点満点の１００、完全を表わす１００です。プラトン立体はこの５つだけで完全なのです。ところで多面体の要素としては、面と点のほかに線があります。次にこの５つの立体の線の数を数えてもらいましょう。正４面体は面４点４だから、線も４…？かというとそうではありません。

　これは人間関係などでも平面的にしか考えられない人が犯す過ちですね。人間が３人なら３角形を作って関係線は３本でした。しかし４人になると関係線は６本になります。そして３人ずつが作る面の関係も４つできます。自分から伸びている３本の関係線や、自分も関与している３つの関係面のほかに、自分からは計り知れない３人の間の１つの関係面や３本の関係線が存在していることを認めないと、４人で構成する４面体空間という場は歪みだらけでちゃんとした正４面体にはなりません。

　では正６面体はというと、このように上面の正４角形の４本、下面の４本、そしてそれらをつなぐ垂直の４本で、全部で１２本ですね。正８面体はピラミッド底辺の正４角形の４本と上下の頂点に向かう４本４本で、全部でこっちも１２本。正６面体と正８面体が一番馴染み易いのは、私たちの発想が１２進法的世界認識と強く関係しているからなのかも知れません。

　次に正１２面体と正２０面体です。どうぞ数えてみてください。なかなか難儀してますね。これもまたコツがあります。上下を固定して、一回りにいくつあるか数えるのです。え、２６本？３２本？こ、困りましたね。まあ銀河幼稚園ひよこ組ということで、答を先に言ってしまうと、どちらも３０本ずつなのです。ああ、ごめんなさい、せっかく数えてくれたのに、どうもありがとう。

　そこでこれもまた全部足して見ましょう。６＋１２＋１２＋３０＋３０＝９０。９０と先ほどの面と点の総和１００と比べてみると１０：９ですね。これはマヤの人たちが９と言う数を重要視していたことや、中国の「一白水星」とか言うように九までの星で見る占い（よく知らないことに関してはあまり語らない方がいいですね)とも関係させて考えることができるでしょう。９は中国では皇帝の数とも言われていました。

　もっと言えば、フランス大革命の裏側で世界統一基準の単位系を作ろうとしていたメートル法委員会のことも連想させられます。直角が９０度であることに普段の私たちはなんの疑問も持ちませんが、これも実はシュメール・バビロニア起源の１２−６０進法の空間計測に基づいています。そして全ての計測法を１０進法にしようとしていたこのメートル法委員会は、直角もまた１００（グラード）度とし、１周３６０度を４００グラード度と定義しています。

　これは決して御無体な操作ではなく、マヤの２０進法の一桁上の４００との整合性もでてきます。彼らは実際に地表を部分計測して、地球の赤道から北極までを１００００ｋｍと定義して、１ｍ原器長を算出しました。したがって地球１周は４００００ｋｍ（実際は微妙な誤差があったのですが）となり、地球の中心からの１グラード度は地表ではちょうど１００ｋｍになるという整合性もあるわけです。これはほんの一例ですが、９０と１００もしくは９：１０もまた、暦に限らず世界認識において重要なファクターとなっているのです。

　さて完璧であると言ったプラトン立体は、地球の暦とは何らかの関係が見られるのでしょうか。ではこれからそれを見て行きましょう。まずこれを見てください（写真）。これは私がプラトン立体サイコロと名づけたもので、東急ハンズのゲームコーナーで１個１００円〜１５０円で売っている優れものです。脳梗塞などのリハビリでくるみの実を手の中でグリグリしたりするように、銀河の記憶喪失症者としてその重要な記憶を回復するために、このプラトン立体サイコロを５個、手のひらの中でためつすがめつしながら転がすのもいいかも知れません。

　この５つのプラトン立体にはそれぞれの面にサイコロの目が振ってあります。一番なじみ深いのは普通の１〜６までの目がある正６面体サイコロですが、他の立体もそれぞれの面の数までの数が書いてあります。ではここでこの目の数を足してみることにします。正４面体は１＋２＋３＋４＝１０です。これは先ほどやった３角数と同じ操作ですね。正６面体は１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１です。同様に正８面体は１〜８までの和が３６、正１２面体は７８、そして正２０面体が２１０になります。

　この私たちに一番馴染みのある正６面体サイコロの目の和だけが奇数であるところにも重要な問題がありそうなのですが、それは後日の話として今はこの５つのプラトン立体全てのサイコロの目を足してみましょう。１０＋２１＋３６＋７８＋２１０ですから、全部で３５５になります。

　さてここで話はいきなり月の周期に飛びます。月の公転周期と自転周期は共に２７.３日で同じだから、月は摂動という微妙な揺らぎ以外では常に同じ面を地球に見せています。これは銀河恒星面に対して１回転するという周期です。しかし地球はその間にも太陽の周りを公転しているので少しだけ移動しています。だから太陽−地球-月が同じ位置関係で一直線になるまで、つまり満月から満月まで（もしくは新月から新月まで）の周期はそれより少し長い、２９.５日です。これを朔望周期といいます。

　ではここで１２と１３の問題に入ります。この月の自転・公転周期２７.３日に１３を掛けてください。そろばんとかが得意な人は暗算ですぐ出せるのでしょうが、私たちには電卓という強い味方があります。ええと、今日はＫＩＮ３７：赤いスペクトルの地球ですが、ちょうど今日が銀河の誕生日でもある和服を着たあなたにお願いします。この電卓で２７．３Ｘ１３をお願いします。はぁ、３５４９日？えーと、それは小数点を入れてないのではないでしょうか。ああ、はいはいそうです、３５４．９日ですね。この値は２７．３２１…日の端数を小数点以下１位で丸めてありますから、切り上げて３５５日としてもたいした誤差ではないでしょう。

　つまり先ほど見た、プラトン立体サイコロの全ての目の和３５５がここにも出てきているのですね。では今度は朔望周期２９．５日の方です。太古から時間と周期を計測するのに、この月の満ち欠けを用いていました。しかしこの０．５日の端数があるので、古代の人はある月は２９日にして、次の月を３０日にするというような操作をして帳尻をあわせてきたのです。さて赤いスペクトルの地球さん、その２９．５日に今度は１２を掛けてみてください。

　そうです、３５４日ですね。ここに地球の１年３６４日＋１日と同じように、もう１つの全体という意味もある＜＋１＞を加えると、やはり３５５日になります。この「プラス１」という概念に関しては、また別の機会にしっかりお話したいと思います。ここで重要なことは、短絡的に「だからプラトン立体は月の１２と１３の関係を含んだ太陰暦と関係がある」などと乱暴に解釈しないことです。その上にある数的符号が何らかの状況証拠に通じる可能性があるのではなかろうかと思う、不思議な感覚やちょっとしたワクワク感が重要なのです。

　さてプラトン立体では正６面体の面は６、点が８、そして線が１２でした。また正８面体は面が８、点が６、線が１２でした。最初にこの２つの立体の回転対称軸が１３本であるということを言いました。そして立体の線の数は共に１２本です。つまりこれはこの２つのプラトン立体は、面を点に、そして点を面に変換しあうことができるということなのです。この操作を「面点変換」といいますが、例えばこの正６面体の全ての面を中心の点に置き換えてそれらをつなぐと、このように正８面体になるのです（右図参照）。

　そしてこの小さな正８面体の８つの面をそれぞれまた中心の点に変換してそれぞれをつなぐと、さらに小さな正６面体ができます。この関係はどこまで小さくなっても、また逆にどこまで大きくしていっても同じように変換します。このミクロ・マクロ方向に交互に繰り返す関係を「双対立体」の関係といいます。（なおこの引っ繰り返った立体はベクトル平衡体という名前の重要な立体ですが、これもまた後日に見ていくことにしましょう。）

　同様にして正１２面体と正２０面体には３１本の回転対称軸があり、線の数は共に３０本です。正１２面体には２０個の点があり、正２０面には１２個の点があります。つまりこの２つの立体も「面点変換」ができる「双対立体」の関係にあるのです。ではこの４つの立体の２つのカップルに比べて、正４面体はずっと独身主義なのでしょうか。それはこの正４面体を面点変換してみれば分かります。そうすると逆向きの小さい正４面体が内側に現れてきます。それをさらに面点変換すると、もっと小さい正４面体が今度は元の向きで出現します。つまり正４面体の「双対立体」は自分自身なのです。

　だから、＜正６面体と正８面体＞の組と、＜１２面体と正２０面体＞の組のように、実は＜正４面体と正４面体＞の組も存在するのです。プラトン立体は５種類だと言いましたが、このような関係で見ていくと、正４面体も表と裏の２つを数えて、全部で６つの立体の３つのペアと考えることができるのです。そこで先ほどのプラトン立体サイコロの目の総和に戻りましょう。５つの立体だと合計が３５５でした。ではもう１つの正４面体も数に入れて計算してみるとどうなるでしょう？そうです、そうすると今度は３６５になります。地球の１年３６５日の数が出てくるのです。

　では月−地球−太陽の三つ組みからなる地球の暦だけではなく、他の惑星の上にも見ていきましょう。実は「太陽系トポロジー」という名前の面白い関係からの見方がたくさんあるのですが、今日は金星の公転周期と自転周期の関係から見てみましょう。金星の公転周期は２２５日です。２２５が１５の２乗であるということは、また後で私たちの１０進法的な世界観を見直す時につながってくるでしょう。そして金星の自転周期はこれより少し長い２４３日です。しかも他の太陽系の惑星たちとは逆回転をしています。金星は太陽の周りを１回公転しても、また自転の１回が完遂されていないという変な惑星なのですね。

　さてＫＩＮ３７さんにまた登場していただきましょう。電卓計算をお願いします。この金星の公転周期２２５日に１３を掛けてみてください。はい、２９２５日ですね。では次に金星の自転周期２４３日に今度は１２を掛けてみてください。２９１６日です。この数値はほぼ同じですね。先ほどは月の自転・公転周期に１３を掛け、また朔望周期に１２をかけて、ほぼ地球の１年でこの２者が同期することは見ました。今度はこの２９２０日くらいで同期していますが、この日数は一体地球の何年なのでしょう。

　また計算お願いします。２９２０日を３６５日で割ってみてください。そうです、ぴったり８年ですね。地球のほぼ８年で金星の自転と公転は１２と１３で同期しているのです。ちなみに地球の８年は４年に１回のうるう年があるので、正確には２９２２日になりますけれど。ではこの日数をもう一度月の公転・自転周期２７．３日と朔望周期２９．５日で割ってみましょう。

　　　　　２９２２÷２７．３＝１０７．０３３…（約１０７回）
　　　　　２９２２÷２９．５＝９９．０５１…　（約９９回）

　つまり地球の８年の間に、月は１０７回の公転・自転周期と９９回の朔望周期があるということです。これはまた先ほど言った時間と空間の関係、もしくはかぞえと満の関係でもあって、１０７回公転・自転するということは、１０８回元の位置に戻るということであり、１００回目の満月が見えるということでもあります。この関係が１０８：１００＝２７：２５に集約されて、しかもそれはまた３の３乗と５の２乗の比でもある…などと解釈しなくても、１００は完全なる数、１０８は仏教などで言う煩悩の総数などとしてもそれとなく意味がある数として認識できるでしょう。

　後でフィボナッチ数列の第５，６，７項である５，８，１３の関係を見る時、もう１度この金星と地球の関係を見ていこうと思います。