■ペンタキスについて
ペンタキスの基本的な形状は、下左図のように先端部分を切り取った３角錘である。これを覗き込むことによって、内部に黄金比を内包する５重対称性の形状の立体が見えるのだ。このペンタキスの中に最初に正４面体サイコロを入れ、その中を覗き込んで綺麗だと騒ぎ始めたのは、メタトロンレクチャーに参加していた７歳のケンタロウ少年だった。
この内面の２面角が６０度・７２度・６０度であるペンタキスの中に、１つの面が６０度・６０度・６０度の正３角形をしている正４面体サイコロを入れると、１２度分だけ隙間ができるが、それでもほぼ１つの３角形の面を覆い尽くすことができる。そしてこれが６０回反射することによって、菱形３０面体の１面を２分した６０面体として目に入ってくるのである。
もちろん他のプラトン立体サイコロやビー玉その他のものを入れても同様の形が見えるのだが、ほぼ全面を被覆した形で見えるのは正４面体サイコロが一番お手軽だろう。このケンタロウ君は負杖の万華鏡を知っているのか知らぬのか定かではないが、色つきの紙シールを内面に張り込んで内部空間に虚実の入り乱れた立体万華鏡空間をも作り出した。参加者諸氏がこれに刺激されて、様々なものを内部に入れては覗き込むことに時間を使ったのは言うまでもない。
   
左から (1)ペンタキスの概念図。 (2)ペンタキスと正４面体。 (3)正５角錘の１２面体。 (4)菱形３０面体に近い６０面体。
■小星型１２面体について
ペンタキスの内部に見える小星型１２面体は、５重対称性を有するケプラー・ポアンソ立体の１つである。正１２面体の１つの面には５つの面が接している。その５つの面をそのまま伸ばすと、底辺と斜辺が黄金比になっている５角錘が最初の面の上にできる。１２面すべて同様にすると、この１２個の黄金比５角錘からなる小星型１２面体ができる。
画像を見れば分かるように、元の１２面体のそれぞれの面と同一の平面に５芒星ができているのが見て取れるだろう。また前ページでも見たとおり、正１２面体の各面に正５角錘を逆向きにつけた時、元の１２面体の辺長でその各頂点を結ぶと、そこにも小星型１２面体ができるのである。この小星型１２面体は平面のペンタグラム（５芒星）の１つ次元が上がったもので、いわば立体５芒星であるとも言えるだろう。
なお展開図の段階からペンタキスを製作する時に、３角錘の頂点を切り取る線に平行な直線を内部側になる面上に引くとしよう。それらを何本引いてもペンタキス完成時にはそのおのおのの線が全て、線で描かれた小星型１２面体になる。また展開図の中心点から同心円を描くと、その線は完成時に球面状の菱形３０面体（ただし２分されているので正確には６０面体）になる。
テラバイト日記（８３）20020428-4
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