(083)ペンタキスと星型12面体

■ペンタキスについて

 ペンタキスの基本的な形状は、下左図のように先端部分を切り取った3角錘である。これを覗き込むことによって、内部に黄金比を内包する5重対称性の形状の立体が見えるのだ。このペンタキスの中に最初に正4面体サイコロを入れ、その中を覗き込んで綺麗だと騒ぎ始めたのは、メタトロンレクチャーに参加していた7歳のケンタロウ少年だった。

 この内面の2面角が60度・72度・60度であるペンタキスの中に、1つの面が60度・60度・60度の正3角形をしている正4面体サイコロを入れると、12度分だけ隙間ができるが、それでもほぼ1つの3角形の面を覆い尽くすことができる。そしてこれが60回反射することによって、菱形30面体の1面を2分した60面体として目に入ってくるのである。

 もちろん他のプラトン立体サイコロやビー玉その他のものを入れても同様の形が見えるのだが、ほぼ全面を被覆した形で見えるのは正4面体サイコロが一番お手軽だろう。このケンタロウ君は負杖の万華鏡を知っているのか知らぬのか定かではないが、色つきの紙シールを内面に張り込んで内部空間に虚実の入り乱れた立体万華鏡空間をも作り出した。参加者諸氏がこれに刺激されて、様々なものを内部に入れては覗き込むことに時間を使ったのは言うまでもない。

 左から (1)ペンタキスの概念図。 (2)ペンタキスと正4面体。 (3)正5角錘の12面体。 (4)菱形30面体に近い60面体。

■小星型12面体について

 ペンタキスの内部に見える小星型12面体は、5重対称性を有するケプラー・ポアンソ立体の1つである。正12面体の1つの面には5つの面が接している。その5つの面をそのまま伸ばすと、底辺と斜辺が黄金比になっている5角錘が最初の面の上にできる。12面すべて同様にすると、この12個の黄金比5角錘からなる小星型12面体ができる。

 画像を見れば分かるように、元の12面体のそれぞれの面と同一の平面に5芒星ができているのが見て取れるだろう。また前ページでも見たとおり、正12面体の各面に正5角錘を逆向きにつけた時、元の12面体の辺長でその各頂点を結ぶと、そこにも小星型12面体ができるのである。この小星型12面体は平面のペンタグラム(5芒星)の1つ次元が上がったもので、いわば立体5芒星であるとも言えるだろう。

 なお展開図の段階からペンタキスを製作する時に、3角錘の頂点を切り取る線に平行な直線を内部側になる面上に引くとしよう。それらを何本引いてもペンタキス完成時にはそのおのおのの線が全て、線で描かれた小星型12面体になる。また展開図の中心点から同心円を描くと、その線は完成時に球面状の菱形30面体(ただし2分されているので正確には60面体)になる。


テラバイト日記(83)20020428-4

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