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　 <029>１０進法の累乗和の美しさと３角数

　私たちは数を10進法で認識するから、10進法は本当に美しい思う。これは私たち体が黄金比から出来ているから、黄金比は美しいと認識するのに似ている。１から順次、整数の３乗の総和をかいま見てみよう。

１³　
１³＋２³
１³＋２³＋３³
１³＋２³＋３³＋４³
１³＋２³＋３³＋４³＋５³
１³＋２³＋３³＋４³＋５³＋６³
１³＋２³＋３³＋４³＋５³＋６³＋７³
１³＋２³＋３³＋４³＋５³＋６³＋７³＋８³
１³＋２³＋３³＋４³＋５³＋６³＋７³＋８³＋９³
１³＋２³＋３³＋４³＋５³＋６³＋７³＋８³＋９³＋10³　　　　　(以下同様に）

＝１＝９＝36＝100＝225＝441＝784＝1296＝2025＝3025

＝１²
＝３²＝６²＝10²＝15²＝21²＝28²＝36²＝45²＝55²

１³＋…＋11³１³＋…＋12³１³＋…＋13³１³＋…＋14³１³＋…＋15³１³＋…＋16³１³＋…＋17³１³＋…＋18³１³＋…＋19³１³＋…＋20³１³＋…＋21³１³＋…＋22³１³＋…＋23³１³＋…＋24³１³＋…＋25³１³＋…＋26³１³＋…＋27³１³＋…＋28³１³＋…＋29³１³＋…＋30³１³＋…＋31³

＝4356¹
＝6084¹
＝8281¹
＝11025¹
＝14400¹
＝18496¹
＝23409¹
＝29241¹
＝36100¹
＝44100¹＝53361¹＝64009¹＝76176¹＝90000¹＝105625¹＝123201¹＝142884¹＝164836¹＝189225¹＝216225¹＝246016¹

＝66²＝78²＝91²＝105²＝120²＝136²＝153²＝171²＝190²＝210²＝231²＝253²＝276²＝300²＝325²＝351²＝378²＝406²＝435²＝465²＝496²

３乗数の総和を表した数列がまた、３角数の２乗で表した数列になっていることが見て取れるだろう。
以下の数列は上段が項数、下段が３角数である。(暦の１ヶ月の日数に順じて３１まで列記した。)

１	２	３	４	５	６	７	８	９	10	11	12	13	14	15
１	３	６	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91	105	120

16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
136	153	171	190	210	231	253	276	300	325	351	378	406	435	465	496

　３角数そのものの数列もまた美しく、示唆以上のものを含んでいるので、少しその中の関係性を見てみよう。10進法を用いている私たちにとって、100は100％とか100点満点というように、全てとか完全という意味がある。しかしここには地球の１年の日数でもある365という数と共に、象徴以上の意味が存在しているに違いない。

　例えば第17項と第22項の差は100である。（153という数については別のところで詳細を見た。）第９項と第10項の和もまた100である。また、第30項は１年365日に100足した数である。

　第７項の<28>は、「13の月の暦」の１ヶ月の日数だが、第13項の<91>は13×７である。また第７項の<28>そのものは４×７である。地球の１年365日を、この「13の月の暦」では28日×13ヶ月＋１日としているが、また４つの季節に分ける場合、この91日を１つの季節(余日１日）としている。
（91×４＝364。28×13＝364。４つの季節と13ヶ月。13＋７＝20。）

　７の３角数は28。20＋８＝28。20と８の３角数の和は210＋36＝276だが、276は23の３角数だ。

　第26項の３角数は351。351日(＋１日）の間に水星は４公転する。（88×４＝352)

　26＋２＝28。26と２の３角数の和は351＋４＝355だが、この間に月は13回自転・公転し、13回朔望する。（27.32×13＝355.16日、29.5×12＝354）

　少し見ただけでかように込み入っているのが分かるが、詳細を精査するのは後日に委ねることにしよう。ここでは３角数そのものにも、もっと注目すべきであろうということだけを主張しておこう。