(561)3角数、4角数、正4面体数、ピラミッド数

 

 先に3角数というものを見たが、4角数というものもある。3角数とはそれまでの項数の総和であったが、4角数とは平方数のことである。すなわち2,3,4,5…の4角数とはそれぞれ22,32,42,52…つまり4,9,16,25…である。3角数や4角数などの多角数が線的な数を面的に累積していったものだとすると、この面的な平方数をピラミッドのように順次立体的に積み上げていった時の数の総数をピラミッド数と呼ぶ。また同じように平面的な3角数を順次立体的に積上げて行った時の数の総数を正4面体数という(下図表参照)。これらを数字の次元的に見ていくと次のようになる。

<1次元的>1,2,3,4,5…

<2次元的>
    1の3角数:1       1の4角数:1
2の3角数:3=1+2 2の4角数:4=2+2
3の3角数:6=1+2+3 3の4角数:9=3+3+3
4の3角数:10=1+2+3+4 4の4角数:16=4+4+4+4
5の3角数:15=1+2+3+4+5 5の4角数:25=5+5+5+5+5
 
<3次元的>

   
1の正4面体数:1   1のピラミッド数:1
2の正4面体数:4=3+1 2のピラミッド数:5=2x2+1
3の正4面体数:10=6+3+1 3のピラミッド数:14=3x3+2x2+1
4の正4面体数:20=10+6+3+1 4のピラミッド数:30=4x4+3x3+2x2+1
5の正4面体数:35=15+10+6+3+1 5のピラミッド数:55=5x5+4x4+3x3+2x2+1