−	面　数	点　数	線　数	回転対称軸	面と点の和	２面角	中心角
正４面体	４	４	６	７	８	70°32'	109°28'
正６面体	６	８	１２	１３	１４	90°	70°32'
正８面体	８	６	１２	１３	１４	109°28'	90°
正１２面体	１２	２０	３０	３１	３２	116°34'	41°49'
正２０面体	２０	１２	３０	３１	３２	138°11'	63°26'

　正４面体の２面角70°32'と中心角109°28'がその平均角度である直角90°と共に、それぞれ正６面体の中心角としての70°32'と正８面体の２面角としての109°28'に現われていて、それぞれの組み合わせで様々に平角１８０°を作ることを第２章で見た。ここでは５重対称性を有する正１２面体と正２０面体の２角とその関係を見てみることにしよう。上表にもある通り、正１２面体の２面角は116°34'であり、中心角は41°49'である。一方正２０面体の２面角は138°11'であり、中心角は63°26'である。このそれぞれの角度は一見バラバラで何の整合性もないように見える。しかし正６面体の中心角と正８面体の２面角が交差して平角１８０°を作っていたように、実はここでも正１２面体と正２０面体が交差して平角１８０°を作っているのである。

　すなわち正１２面体の中心角41°49'と正２０面体の２面角138°11'の和は平角１８０°であり、正１２面体の２面角116°34'と正２０面体の中心角63°26'との和もまた平角１８０°になっているのだ。またこの正２０面体の２面角138°11'は、円周を黄金比φで割った時にできる２つの角（オクタビアンス）の片方の１３７．５°に近似している（もう１つは２２２．５°）。ところで第１章で見た通り、「水星から太陽までの距離」と「地球から太陽までの距離」の比率は０．３８７：１であった。そしてこの比率を円周に当てはめてみると、１３９．３２：３６０となる。つまりこのことから正２０面体の２面角138°11'と円周３６０°の関係が、水星と地球の太陽までの距離に非常に近い値であることが分かる。しかもそれは黄金比φが絡んでいるのである。そしてもう一方の正１２面体の２面角116°34'はそのまま水星の会合周期に近似している。

　　　正２０面体の中心角（63°26'）＋正１２面体の２面角（116°34'）＝平角（１８０°）
　　　正２０面体の２面角（138°11'）＋正１２面体の中心角（41°49）＝平角（１８０°）

　なおこの５重対称性を有する正１２面体と正２０面体の２角に関しては、もう１つ平角１８０°との関係も見逃すことができない。正２０面体の２面角138°11'と平角１８０°との比はほぼ１０：１３であり、また正12面体の２面角116°34′と平角１８０°との比はほぼ１３：２０になっている。平角１８０°と地球の赤道傾斜角２３．４°の１０倍との比は１０：１３である。この２３４という数は金星の自転周期２４３日と公転周期２２５日との平均でもあった。そして１３：２０はそのままマヤの１３進法と２０進法に対応でき、また１３×２０＝２６０の神聖暦ツォルキンを想起させられる。しかしマヤの神聖暦ツォルキンに関してはＺＯＮＥ−４で詳しく見ていくとして、ここではこの数比と天体の運行を対応させてみよう。金星の会合周期５８４日と火星の会合周期７８０日の比は１０：１３である。また土星の会合周期３７８日と金星の会合周期５８４日との比は１３：２０になっている。これらの数字の符合は美しくはないだろうか？そこに意味を見出そうとする衝動と努力は愚かなことなのだろうか？

　　　１０：１３≒平角１８０°：地球の赤道傾斜角２３．４°の１０倍２３４°
　　　１０：１３≒平角１８０°：金星の公転周期２２５日と自転周期２４３日の平均２３４日

　　　１０：１３≒正20面体の２面角138°11′：平角１８０＝９．９９７９６：１３…
　　　１３：２０≒正12面体の２面角116°34′：平角１８０＝１３：１９．９５２２…

　　　１０：１３＝金星の会合周期（５８４日）：火星の会合周期（７８０日）
　　　１３：２０＝土星の会合周期（３７８日）：金星の会合周期（５８４日）

　なお下の図は、正１２面体−正２０面体の系の面点変換の過程において、その変形途中の立体をアニメーションの中割りのように挿入したものである。右回りと左回りの双方向性があるが、相対的な立体の大きさはこの場合問題ないので、その対称性と繰り返しがが分かりやすいように円環図にしてある。「加頭」という接頭語は「切頭」（ｔｒｕｎｃａｔｅｄ）に対応する安直なネーミングで特に深い意味はない。この美しい相貫関係性と対称性を味わうのに下の下手な自作のアニメーションが妨げにならなければ幸いである。