この表の「線の数」と「回転対称軸」と「面と点の和」に注目してみよう。正４面体が６−７−８であり、正６面体及び正８面体は１２−１３−１４であり、正１２面体と正２０面体は３０−３１−３２となっているのが分かるだろう。回転対称軸の本数は面、点、線の総和を２で割った数に等しいことと、面数＋点数−２＝線数というオイラーの法則からこのように連続する３数になるのだが、回転対称軸の数はそれぞれの反転に関係の深い数となっているということにも注意すること。

　ここでもう一つ注目しておきたいのは、表の右端に示した「１つの面の正多角形の角数」と「一つの頂点に集まる線の数」である。アミかけしてある部分で分かるようにどちらも３−４−５となっている。＜正４面体−正８面体−正２０面体の系＞において、「１つの面の正多角形の角数」はみな正３角形である。しかし＜正４面体−正６面体−正１２面体の系＞の１つの面の形は、それぞれ正３角形−正４角形−正５角形だ。つまりこちらは＜３−４−５＞となっているのである。

　次にこの＜正４面体−正６面体−正１２面体の系＞の「１つの頂点に集まる線の数」を見てみると、全て１点に線が３本集まっている。一方＜正４面体−正８面体−正２０面体の系＞はどうかというと、１点にそれぞれ３本−４本−５本が集まっている。つまり＜３−４−５＞となっているのだ。６以上の数がなぜないのか。面の形が正６角形だとどこまでも正６角形で埋め尽くされる平面になってしまい立体にはならない。また１つの点に６本の線が集まるというのも、これと同様で正３角形で埋め尽くされる平面となり立体にはなり得ない。ではなぜ１と２がないのか。もちろん１つの点に１本の線、２本の線が集まっても面は作れないし、同様に１角形、２角形は存在しないからであるが、面数＋点数−２＝線数というオイラーの法則の「−２」の意味の深さが見て取れるだろうか。

　さて３：４：５といえば「エジプトの直角３角形」がすぐに連想される。このエジプトの３角形という名前は、古代のエジプト人が毎年起こるナイル川の洪水の後に、等距離の１３個の結び目がついたロープを用いて測地していたというエピソードによる。この辺長比３：４：５の直角３角形はまた「ピュタゴラスの３角形」とも呼ばれている。実際にエジプトでこの結び目がついたロープを用いて計測していたかどうかは別として、この３角形は実際にギリシア人よりエジプト人の方が先に知っていたことが知られているので、本稿ではこの３：４：５の直角３角形をエジプトの直角３角形と呼ぶことにする。