Ｅ-014　多面体の各面の内角の総和を見る

■１■多面体の不足角についてはすでに見た。多面体の頂点が平面から立ち上がるめに、その周角360度から削り取った角度のことだった。凸多面体の不足角の合計は全て720度だった。では多面体の各面の内角の合計を見て行こう。例えば正４面体は180×４＝720度であり正６面体は360×６＝2160度である。

■２■図に示したように、５種のプラトン立体の各面を構成する正多角形の内角の総和は、正４面体が720度、正６面体が2160度、正８面体が1440度、正12面体が6480度、正20面体が3600度となっている。この数値はそれぞれ360度の２、６、４、18、10倍、または720度の１、３、２、９、５倍となっている。
　　　
■３■水星が１回自転するには水星自身の２公転720度必要であり、メビウスの輪が元の位置に戻るには輪の表裏２周の720度回転が必要である。720はまた10進法の自然数で、１×２×３×４×５×６とであも、８×９×10とも表現できる。７も掛けるとプラトンが都市国家の理想的な戸数と言った5040になる。

　　　　　１×２×３×４×５×６＝720＝８×９×10
　　　　　１×２×３×４×５×６×７＝5040＝８×９×10

■４■ここで再びマイルで表した月と地球の大きさを想起してみよう。月の直径は2160マイルだったが、正６面体の各面の内角の総和は2160度である。また地球の直径は7920マイルだったが、正４面体、正６面体、正８面体、正20面体の各面の内角の総和は（720度＋2160度＋1440度＋3600度＝）7920度である。
　　　

■５■ところで太陽の大きさをマイルで表すと直径（1392000km＝）864000マイル、半径（696000km＝）432000マイルになる(※)。また正４面体、正８面体、正20面体の全ての角の総和は｛(720＋1440＋6480)×100＝｝8640度であり、正４面体、正８面体、正６面体の方は（720＋1440＋2160＝）4320度になる。

■６■この２つの３つ組多面体の角度の数値を100倍すると864000度と432000度になり、太陽の直径と半径をマイルで表した数値864000マイルと432000マイルにぴったり一致する。これらの一致はメートル法のみでは見えない。また8640は１日の秒数でもあるが、このヤード・ポンド法の真の出自は謎である。

　　　

　　　

（※）より正確には864948.6996マイルと432474.3498マイルで誤差は0.001％