Ｅ-015　多面体の内角の総和を整数比で見る

■１■「多面体の各面の内角の総和」という表現をしたが、これはまた「多面体の表面の全ての角度の和」ということでもある。そして展開図を見ればわかるように、多面体には各頂点が平面から立ち上がるために周角360から切り取った角度（不足角）がある。全ての多面体の不足角の総和は720度である。

■２■プラトン立体を見直してみよう。正４面体、正６面体、正８面体、正12面体、正20面体の表面の角度の和は、それぞれ720度、2160度、1440度、6480度、3600度である。これらの数値も色々な数を連想できるが、この５立体の表面角の総和は14400度であり、５立体の不足角の総和も足せば18000となる。



■３■シンプルに360度で割ればこの倍の２，６，４，18，10となるが、各立体の数値を不足角の総和720度で割ると、１，３，２，９，５と整数比で見て取れる。これだけの数の組合せのみで、１〜20までを生み出すことができる。５立体の不足角の720度を足して戻してみれば、２，４，３，18，10となる。

■４■次に13個のアルキメデス立体も同様に見てみよう。表面の角度の和は大きな数になるので、720度で割った数も合わせて見れば、図で示した通り3600（５）が２つ、7920（11）と28880（29）が４つずつある｡そして10080（14）､16560（23）、42480（59）が１つだが、20・12面体の14以外はみな素数だ。



■５■さて13種のアルキメデス立体のそれぞれにもカタラン立体という13種の双対立体がある。これらについても同様に表面の角度の総和を出してみた。こちらの方は３の倍数ばかりで、３，６，12が２個ずつ、15が３つ、そして18，30，45だ。これを2160で割ると１，２，４，５，６，10，15という数になる。

■６■正６面体→正８面体と正８面体→正６面体の面点変換をそれぞれ360度の回転と考えると、その間の90度ごとに切頭６面体→ベクトル平衡体→切頭８面体及び切頭８面体→ベクトル平衡体→切頭６面体がはまり込む。図では時計回りの回転がミクロ方向、反時計回りの回転がマクロ方向の面点変換を表す。　



■７■この多面体の全ての角度を720度で割った数値見ると、３，11，５，11と、２，11，５，11となり、２者の和は30と29となる。この720度回転分の和は59となり、その平均は月の朔望周期の日数と同じ29.5となる。30と29は、太陰暦の２か月59日を30日＋29日の太陰暦の２か月することを連想させられる。

　　　正６面体→切頭６面体→ベクトル平衡体→切頭８面体(→正８面体)
　　　　　　　　３ ＋ 11 ＋ ５ ＋ 11 ＝30
　　　(正６面体←)切頭６面体←ベクトル平衡体←切頭８面体←正８面体
　　　　　　　　29 ＝ 11 ＋ ５ ＋ 11 ＋ ２

■８■なおこの２朔望周期で１セット59日というと女性の排卵周期の１サイクルでもある。普通の生理周期は月の朔望周期と位相が揃った29.5日だが、女性の卵巣は２つあって左右交互に卵子を作るので、１サイクルは59日であるとも言えるだろう。ちなみに地球からは月の表面の59％を見ることができる。

■９■円周率πは360度の回転を連想させるが、720度は単に２πと捉えるのではなく、πのπ乗（π^π＝36.462…）と考えると、地球の公転周期もイメージできる。そしてこれにそれをどこまでも増幅再生させるという機能としての黄金比φを掛けると、φ・π^π＝58.9957425…でほぼぴったり59となる。



■10■では次に正12面体と正20面体の面点変換についても見てみよう。正20面体⇒正12面体の面点変換過程での多面体の表角の総和（を720度で割った数)は77、正12面体⇒正20面体の面点変換過程での多面体の表角の総和は81となる。またその平均は79(金の原子番号でもある)、そして総和は158となっている。

　　　正20面体→切頭20面体→20・12面体→切頭12面体（→正12面体）
　　　　　　　　５ ＋ 29 ＋ 14 ＋ 29 ＝77
　　　（正20面体）←切頭20面体←20・12面体←切頭12面体←正12面体
　　　　　　　　81 ＝ 29 ＋ 14 ＋ 29 ＋ ９

■11■さらに正４面体の面点変換はこういう感じになる。正４面体の反転した自身への面点変換は１度だけで「正６面体・正８面体のペア」及び「正12面体・正20面体のペア」の720度分の回転となるが、敢えて「正４面体・正４面体」も２回繰り返して元の方向に戻すとすると、その和は13＋13＝26となる。

　　　正４面体→切頭４面体→正８面体→切頭４面体（→正４面体）
　　　　　　　　　　１ ＋ ５ ＋ ２ ＋ ５ ＝13