Ｅ-012　変形12面体の内部と外部を見る

■１■アルキメデス立体の１つ変形12面体を綿棒で作ってみた。プラトン立体は５種類、アルキメデス立体は全部で13種類あるが、この変形12面体は普通はその中で一番最後にエントリーされる立体だ。最初から１つずつ見て行くのが筋だが、太陽系を外側から見るようにこの最も面数の多い立体を見てみよう。

■２■面は正３角形80枚と正５角形12枚の和で92となる。立体が捩れているので正３角形の数は数え難そうだが、正12面体の30本の線に２個ずつの正３角形が、20個の頂点には１個の正３角形が対応していると捉えれば分かりやすい。また線は150、頂点は60で、各頂点に正３角形４枚と正５角形１枚が集まる。



■３■正５角形12面からなる正12面体を綿棒で作ると、安定せずにぐにゃぐにゃに歪んでしまうが、この変形12面体は正12面体の線に当たる部分が正３角形になるので、補強なしでも自立すると思い綿棒150本だけで作ってみた。接続部分の不均一さや重力により僅かには歪むが、思った通りちゃんと自立した。

■４■ところでこの内部にさらに綿棒を入れて補強したら、それは一体どんな立体となるのだろう？実際に作ってみよう。先ず表面の正５角形の面から、内向きの正５角錐になるよう30本で補強した。その正５角錐の12の頂点から、さらに中心方向に綿棒５本ずつを５角錐型に垂らすと、小星型12面体ができた。



■５■５角錐のそれぞれの先端同士をくっつけ合うと、安定はしないが小星型12面体の形になるので、この其々の５角錐の底面の正５角形は１辺が１／φ^２の長さになるのではなかろうか。最初の変形12面体で綿棒が150本、内向き５角錐に30本、内接する大星型12面体が60本で、合計240本を使用したわけだ。

■６■変形12面体はアルキメデス立体の中で最も球体に近い立体である。言葉だけで説明しても、見たこともないものは見なくては分からない。綿棒多面体の立体感覚が分からないかも知れないので、老婆心から動画を一つ上げておくことにしよう。長さは39秒だ。画像はHDで見た方が細部が分かりやすいかと。



■７■次に変形12面体と正12面体の要素の対応を見ていこう。正12面体は正５角形の面が12、線は30、点は20である。先ず変形12面体の正５角形12枚を残して、80面ある正３角形を赤く塗りつぶしてみた。この赤い部分がそのまま正12面体の要素である30本の線と20個の点に対応していると見ることができよう。

■８■同様にして、それぞれ３つの正３角形に接している正３角形だけを塗りつぶしてみた。この青く塗りつぶされた20個の正３角形は、正12面体の20個の頂点に対応していると見てとれるだろう。そしてその左はそれ以外の正３角形60個を緑に塗りつぶした図だが、これが正12面体の30本の線に対応している。



■９■この平行面にはない２つの正３角形同士を合体して菱形にした上、それを全て13.1度余りの捩れを戻して正方形にすると、それは斜方20・12面体になる。最後の図は、それぞれの12面ある正５角形の５つの辺に正３角形をつけてヒトデ型にしてみたものだ。ヒトデ型が12面と20個の正３角形というわけだ。

■10■見ようによってはよく似ている変形12面体と斜方20・12面体は、共にアルキメデス立体である。この２立体の捩れ度は15.82度で、この時できる菱形の対角線は１：√３になる。元々の正方形の対角線は√２だった。この√３の対角線で少し折り曲げて２面角を作ることで、変形12面体となるのである。



　　　・斜方20・12面体…面：62、辺：120、点：60
　　　　　　　　　　　　面は正３角形20枚、正方形30枚、正５角形12枚

　　　・　　変形12面体…面：92、辺：150、点：60
　　　　　　　　　　　　面は正３角形80枚、正５角形12枚