Ｅ-011　綿棒による菱形12面体のクイックガイド

■１■綿棒で正12面体を作る時、１辺を普通に綿棒１単位にすると、立体も大きくなり補強分の綿棒の本数も多かった。そこで正５角形の面を５芒星にすれば１辺長が１／φなり、コンパクトな綿棒多面体が作れた。菱形12面体を作る時も、この発想で核になる正６面体の１辺を１でなく１／√２にすればよい。

■２■つまり核になる正６面体を作る時、ベビー綿棒を交差させて正方形の面を作れば、１辺の長さは１ではなく１／√２(＝0.7071…)となる。ただし最初に正６面体の６面全てを交差した形で作るのはなかなか難しい。画像では正６面体の形が良く見えるように、透明のプラスチック板で補強して示してある。

■３■この面が交差した正６面体を中心殻(画像ではに軸を赤く塗ってある)にすると、綿棒１本の長さが√２に対応するわけだ。ベビー綿棒を(２×６＝)12本用いてできた中心殻を見ると、正４面体が２つ逆向きに交差している形に見える。ケプラーの星型８面体になるのだが、外接球を共有するので問題ない。

　　　

■４■まずここでダ・ヴィンチの星と言うものを思い出そう。プラトン立体の各面に、側面が正３角形の正多角錐を貼り合わせた立体のことだ。ここでは正４面体と正６面体のダ・ヴィンチの星を作っていく。先ず正４面体２つからだ。正４面体のダ・ヴィンチの星は正３角形２個の凹菱形４面体のような形だ。

■５■安定していないケプラーの星形８面体の８面全てに正３角錐を立てると、頂点が正６面体の８つの頂点の延長線上を向き、いわば太めの星形８面体のような形になる。８頂点を繋ぐとまた正６面体になる。方向性や形状などは言葉だけでは伝わらないので、中心核の赤い正６面体と並べた画像参照のこと。

■６■次は正６面体をダ・ヴィンチの星状にする。正確には１辺が１／√２の６面体の各面から、１辺１の４角錐を立てるのだが、それは菱形12面体の菱形が細長くなり、真ん中で２等辺３角形の２面に折れたような形状だ。これも図を見た方が早い。見やすいように正４面体のダ・ヴィンチの星は外してある。

　　　

■７■ここでは白い綿棒で正４面体２つ(ケプラーの星形８面体)のダ・ヴィンチの星形を示し、黒い綿棒で正６面体のダ・ヴィンチの星形を示してある。分かり易いように別々に表現してあるが、これはどちらから作っても良いが、結果としては重なって１つになる。結果として角錐の頂点は全部で14個になる。

■８■あとはこの14の角錐を24本の綿棒で繋いでいけば、結果として菱形12面体の形になる。完成形の画像では菱形12面体は黄色い綿棒を用いてある。使用した本数を数えてみよう。殻としての正６面体が12本。ダ・ヴィンチの星化に正４面体×２で24本と正６面体で24本。そして菱形12面体で24本。合計84本。

■９■天王星の公転周期は84年である。酸素化合物なども含めると珪素は地殻の84％を占めている。土星の表面積は地球の84倍である。84は７番目の正４面体数である。そして現在の私たち日本人の男女の平均寿命もまた84歳である。数と形を通じて、世界に相似と同型、共和とホロンを見て行く姿勢は重要だ。