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E-008 様々な綿棒多面体のバッキーボール
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■1■前々回に5芒星と6芒星で作ったバッキーボールと、今回制作する1辺1綿棒の単位で作ったバッキーボールとを、大きさが比較できるよう並べてみた。1辺の比が1/φ:1=1:φなので、大きさの比もほぼ1:1.618…となっている。後者の中空部分には、ちょうど後者が入りそうな大きさである。
■2■なぜ中空部分があるのかというと、前回640本を用いて制作した3層構造フルのバッキーボールに対して、今回は330本あるいは450本を使用する簡易版だからである。前々回は180本1層、今回は330本2層、そして前回は540本3層の構造である。もちろんより複雑強固な構造の立体も作ることが可能だ。
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■3■今回は先ず正5角錐2つを頂点同士で繋ぎ、歪まないように正5角形の頂点同士を綿棒で固定して正5角柱を作る。それを先ず綿棒を(25×12=)300本用いて12個準備する。それらを内面側が20−12面体の形になるよう合体し、最外層にさらに補強と固定のために30本の接合線を加えるという制作方法だ。
■4■出来上がりは同じものだが、別のアプローチもある。最初に2倍体の正20面体、つまり1辺が1の正20面体に対して、1辺が2倍、1面が4倍、体積は8倍の正20面体を120本で制作する。そして12の頂点に正5角錐を逆向きに接合し、それらの間を綿棒30本で接合して、固定するというプロセスである。
■5■なお正20面体をダ・ヴィンチの星形(各面に各辺と同じ線長の正多角錐をつけた形)にして各頂点をつなぐと、正3角形からなる凹60面体となる。この正3角形を2つつなげて菱形として見ると、その対角線の比は1:√3(=1:1.732…)で、菱型30面体の1:φ(=1:1.618…)と近似している。
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■6■この正3角形2つからなる菱形の内角が「60度と120度」であるのに対し、菱型30面体の1つの面の内角は「63度26分と116度34分」である。2者の誤差は3.5度ほどなので、正20面体のダ・ヴィンチの星形の綿棒接合部分を調節することで、わずかな凸部分を平らにすれば菱型30面体の近似立体となる。
■7■正20−12相貫体からできる菱型30面体の、菱型の内角の63度26分が正20面体の中心角と等しく、116度34分は正12面体の2面角に等しい。これは正8−6相貫体からできる菱型12面体の、菱型の内角の70度32分が正6面体の中心角が等しく、109度28分は正12面体の2面角に等しいことと同型である。
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