Ｅ-008　様々な綿棒多面体のバッキーボール

■１■前々回に５芒星と６芒星で作ったバッキーボールと、今回制作する１辺１綿棒の単位で作ったバッキーボールとを、大きさが比較できるよう並べてみた。１辺の比が１／φ：１＝１：φなので、大きさの比もほぼ１：1.618…となっている。後者の中空部分には、ちょうど後者が入りそうな大きさである。

■２■なぜ中空部分があるのかというと、前回640本を用いて制作した３層構造フルのバッキーボールに対して、今回は330本あるいは450本を使用する簡易版だからである。前々回は180本１層、今回は330本２層、そして前回は540本３層の構造である。もちろんより複雑強固な構造の立体も作ることが可能だ。

　　

■３■今回は先ず正５角錐２つを頂点同士で繋ぎ、歪まないように正５角形の頂点同士を綿棒で固定して正５角柱を作る。それを先ず綿棒を(25×12＝)300本用いて12個準備する。それらを内面側が20−12面体の形になるよう合体し、最外層にさらに補強と固定のために30本の接合線を加えるという制作方法だ。

■４■出来上がりは同じものだが、別のアプローチもある。最初に２倍体の正20面体、つまり１辺が１の正20面体に対して、１辺が２倍、１面が４倍、体積は８倍の正20面体を120本で制作する。そして12の頂点に正５角錐を逆向きに接合し、それらの間を綿棒30本で接合して、固定するというプロセスである。

■５■なお正20面体をダ・ヴィンチの星形（各面に各辺と同じ線長の正多角錐をつけた形）にして各頂点をつなぐと、正３角形からなる凹60面体となる。この正３角形を２つつなげて菱形として見ると、その対角線の比は１：√３（＝１：1.732…）で、菱型30面体の１：φ（＝１：1.618…）と近似している。

　　　

■６■この正３角形２つからなる菱形の内角が「60度と120度」であるのに対し、菱型30面体の１つの面の内角は「63度26分と116度34分」である。２者の誤差は3.5度ほどなので、正20面体のダ・ヴィンチの星形の綿棒接合部分を調節することで、わずかな凸部分を平らにすれば菱型30面体の近似立体となる。

■７■正20−12相貫体からできる菱型30面体の、菱型の内角の63度26分が正20面体の中心角と等しく、116度34分は正12面体の２面角に等しい。これは正８−６相貫体からできる菱型12面体の、菱型の内角の70度32分が正６面体の中心角が等しく、109度28分は正12面体の２面角に等しいことと同型である。