E-007 綿棒3層のバッキーボール制作


益山三千代氏制作の綿棒多面体バッキーボール。内部がより複雑になっている。

■1■バッキーボール、つまりアルキメデス立体の切頭20面体は、面32・点60・稜線90本の多面体だ。稜線1本を綿棒1本に対応させて綿棒多面体を作ると、両手で抱えるほど大きな立体になる。しかも最外層だけを作ろうとしても構造的に脆弱だから自壊してしまうので、内部を構造的に補強する必要がある。

■2■綿棒によるバッキーボール制作は、3重の正20面体を念頭にするとよい。中心の殻になるのは、綿棒30本からなる正20面体である。そしてその上に1辺が綿棒2本分の2倍体の正20面体パートが覆い、さらに第3層に1辺が綿棒3本分の3倍体正20面体が被さり、それを切頭したものが切頭20面体である。

   

■3■つまり3層構造の正20面体なのだが、その内部はどうなっているのだろう。外層の面だけから多面体を捉えていては、多面体に詳しい人でもそれは分からない。各層の間は正20面体の12個頂点に、外部に頂点が向いている凸5角錘と、内側に頂点が向いている凹5角錘を、交互に接続するのが基本である。

■4■殻になる1辺1の正20面体の12個頂点に凹正5角錘を付ければ、正5角錘同士が連結して第2層の20・12面体になる。しかしこれだけでは第2層は安定しないので、さらに綿棒を5×12=60本用いて第1層と第2層をつなぐための補強をする。綿棒の長さが決まっているので、適当に繋ぐことはできない。

   

■5■別の表現をすると、この第1層の正20面体の各面に正8面体を20個交互に連結しつつ貼り付けると、第2層の20・12面体になる。上図では綿棒による正8面体を連結しても見難いので、正20面体に対して上から正8面体を5個ずつ4つの輪に連結した立体を接続させており、結果として20・12面体になる。

■6■これだけでは第2層は安定しないので、正20面体の12の頂点に凹正5角錘に5本を添えて、中心方向に垂直な正5角柱にしていくと、それぞれ隣りの補強軸同士が組み合わさり、結果として上述したような正8面体20個の結合構造になる。しかしこれではまだ、第2層は2倍体正20面体にはなっていない。

   

■7■この第2層の20・12面体の12の凹正5角錘部分に、凸正5角錘で蓋をすると、結果として第2層は全体として2倍体正20面体になる。この2倍体正20面体の各頂点は、正5角錐が底面で合わさった形のデルタ10面体から立ち上がっている。この頂点にさらに凹正5角錘を接続して正5角柱を立ち上げよう。

■8■12個の正5角柱は安定しないので、それぞれの5角形の頂点同士を綿棒で接続しよう。全部で30本だ。すると正5角形の間に20の正6角形ができる。この12の正5角形と20の正6角形の面が第3層の切頭20面体になる。さらにその正6角形の中を正8面体と正4面体で満たすのに9×20=180本が必要だ。

   

■9■この5角形部分に正5角錐で蓋をすると3倍体正20面体になるが、切頭20面体がバッキーボールなので、今回はその操作は必要ない。この第1層から第3層までの本数は以下の通りで、全部で540本となる。またこれらをつなぐ内部の形を構成する形は、すべて正4面体・正8面体・デルタ10面体である。

     第1層     正20面体     30本    
      ↓ 接合部分   ↓     +60本 合計 90本
     第2層     
20・12面体    60本 合計150本
            2倍体正20面体  60本 合計210本
      ↓ 接合部分   ↓     +240本 合計450本
     第3層     
バッキーボール  90本 合計540本
            (
3倍体正20面体  60本 合計600本)