Ｅ-005　プラトン立体由来の立体相関図

■１■タイトル通りの「プラトン立体、アルキメデス立体、カタラン立体」の相関図だ。基本のプラトン立体の５つ「正４面体、正６面体、正８面体、正12面体、正20面体」の色を、ドリームスペル仕様の「赤、白、青、黄、緑」にしてみたけれど、白色が地味なので紫色を当ててみた。系統が見えるだろうか。

■２■アルキメデス立体の最初の５つは、プラトン立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体だった。削った部分だけ色を抜いておいた。そして画面右側に正６面体と正８面体の相貫体の重畳部分のベクトル平衡体と、同じく正20面体と正12面体の相貫体の重畳部分の20・12面体の２つが見えている。

■３■さらに右側に、その２つの立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体である、斜方切頂立方８面体と斜方切頂20・12面体の２つがある。削った部分だけ色を抜いておいた。画面左側に目を転じよう。正６面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにすると、斜方立方８面体となる。

■４■同様に正８面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにしても、やはり斜方立方８面体となる。図では正６面体由来の正方形部分を同じ色にして置いた。正３角形部分のみを青で着色すると、正８面体側から切りだした立体を表すことになる。正６面体と正８面体の双対関係が分かるだろう。

■５■この斜方立方８面体の、正６面体の６面由来の正方形（図では紫に着色してある）に対して、元々線の部分だった正方形を２つの正３角形になるように回転させて線の長さを揃えると、少し捩れて変形立方体になる。正12面体と正20面体も頂点と線部分を削って長さを揃えると斜方20・12面体となるのだ。

■６■さらにこの斜方20・12面体にも同様の操作を加えることで、最も球体に近い変形12面体になる。なおアルキメデス立体の中で、ベクトル平衡体と20・12面体だけはどの線も両側の状態が同じなので、準正多面体と呼ばれている。他のアルキメデス立体は両側の多面体配置が全て同じではないことが分かる。

　　　

■７■なお画面上の色のついていない残る13個の立体は、アルキメデス立体の双対でカタランの立体という。立方８面体と双対の菱形12面体と、20・12面体と双対の菱形30面体は灰色で示してみた。また右下の斜方切頂六方20面体と双対の六方20面体は、惑星グリッドと呼びならわしている多面体と同型である。

■８■アルキメデス立体は頂点周囲の形状が合同なので、アルキメデス立体の双対立体であるカタランの立体は面が合同である。ただしアルキメデス立体は複数種の面を持つために、カタランの立体の面は正多角形ではない。アルキメデス立体の辺長が等しいことより、カタランの立体は全ての二面角が等しい。

(※)カタラン立体の画像は『 Wolfram MathWorid 』 より借用して加工しました。