Ｅ-003　残るアルキメデス立体６種の内の４種

■１■残る６種のアルキメデス立体を、２種セットの３組と見ることもできるし、正６・正８面体系３種と正12・正20面体系３種の系統と捉えることもできるだろう。先ず２種１組で見ていこう。立方８面体とはベクトル平衡体のことである。また20・12面体は、正20面体と正12面体の相貫体の重畳部分の形だ。

■２■この２つに「斜方」をつけた２立体がある。斜方立方８面体と斜方20・12面体である。英語だと<rhombicuboctahedron>と<rhombicosidodecahedron>だ。cuboctahedronは立方８面体、icosidodecahedronは20・12面体である。rhombicは菱形・斜方の意味で、菱形立方８面体と菱形20・12面体とも言う。

■３■では名前だけでなく立体を見て行こう。まず斜方立方８面体だ。正６面体の12本の稜線を削り落として行き、さらに８個の頂点も切り落として、各辺が等しくなるようにすると、18面の正方形と８面の正３角形の26面体となる。稜線48本、頂点24個で、各頂点に正３角形１枚と正方形３枚が集まっている。

■４■次は斜方20・12面体だ。正12面体もしくは正20面体の面同士を稜線で切り離し、各辺が同じ長さになるように膨らませた形である。正５角形12面と正方形30面と正３角形20面の62面から構成されており、120本の辺と60個の頂点を持つ。この２つの立体のどこがもしくは何が斜方もしくは菱形なのだろう。

■５■稜線を削り落として行く、もしくは稜線を切り離して膨らませて行き、そして元の頂点も切り落とすという表現をした。上の画像左は斜方立方８面体だが、中央の図は頂点切り落とす前の図で、正３角形の上に黄色で示した線由来の面を伸ばした形だ。また右図は正６面体の上までこの面を伸ばした図だ。

■６■右図は菱形12面体である。この立体の名前にrhombic(菱形・斜方の)が入っているのは、この図からも分かるだろう。下図は同様のことを斜方20・12面体でもしてみたものだ。左が斜方20・12面体で、右が稜線由来の面(黄)を頂点部分(緑)及び正12面体部分(青)まで伸ばした図であり、菱形30面体になる。

　　

■７■次に見るのは上の２つに「切頂」のつく、斜方切頂立方８面体と斜方切頂20・12面体だ。切頂という言葉に着いては、すでにプラトン立体５種からアルキメデス立体５種ができるところで見た。truncateは動詞で「切り詰める」という意味だ。truncatedを<切頭>と訳したが現在では<切頂>が主流である。

■８■斜方切頂立方８面体は<rhombitruncated cuboctahedron>で、斜方切頂20・12面体は<rhombitruncated cosidodecahedron>だ。斜方＋切頂＋立方＋８面体。複雑になるにつれて名前も長くなる。まるで化学式の名前のようだ。２つともより短く、切頂立方８面体と切頂20・12面体という別の呼び方がある。

■９■この別名の通り、簡単な説明だとベクトル平衡体と20・12面体の各頂点を切り落としたような立体であると説明されている。しかしこの「ような」が少し曲者だ。アルキメデス立体の中でも特別に準正多面体と分類されているベクトル平衡体と20・12面体の頂点を、ただ切り落としてもその形にならない。



■10■それらの頂点は正方形ではなく、辺長比がベクトル平衡体からだと１：√２の長方形になり、20・12面体からだと１：√φの長方形なってしまうからだ。実際にはこの辺長比１：√２及び１：√φの長方形が１：１の正方形になるために、この方法で切り出された立体より、少しだけ小さくなるのである。

■11■上図はベクトル平衡体の接頂の様子と、斜方切頂立方８面体を並べて見たものだ。長方形は１：√２である。斜方切頂立方８面体の面は２,３,４の倍の正４,６,８角形になっている。20・12面体と斜方切頂20・12面体もそのまま切頂すると１：φの長方形になる｡下図は20・12面体と斜方切頂20・12面体だ｡
　　　

■12■上図は20・12面体と斜方切頂20・12面体である。20・12面体をそのまま切頂した図は省略してある。その名前の由来通り、斜方立方８面体と斜方切頂立方８面体はすべての面が平行になっている。また斜方20・12面体と斜方切頂20・12面体もすべての面が平行になっている。残る立体はその変形の２つだ。

　　斜方立方８面体 　　(菱形立方８面体<rhombicuboctahedron>
　　斜方20・12面体 　　(菱形20・12面体<rhombicosidodecahedron>

　　斜方切頂立方８面体 (切頭立方８面体<rhombitruncated cuboctahedron>
　　斜方切頂20・12面体 (切頭20・12面体)<rhombitruncated cosidodecahedron>