Ｅ-002　プラトン立体からアルキメデス立体へ

■１■プラトン立体は５種類だが、アルキメデス立体は13種類ある。プラトン立体とは、全ての面が同一の正多角形で構成されていて、しかも全ての頂点に接する面の数が等しい凸多面体だった。アルキメデス立体は全ての面が同一の正多角形という条件を少し緩め、２種類以上の正多角形から構成されている。

■２■アルキメデス立体の中から、まずは「準正多面体」の２つと「プラトン立体の切頭型」の５種を見て行こう。上図では一番左にプラトン立体５種があり、そのすぐ右に縦に５つ並んでいるのが、それら５種に対応する切頭型の５種であり、そのすぐ右(左から３列目)にある２種の立体が準正多面体である。

■３■かつては最初の誤訳のせいもあって、準正多面体はアルキメデス立体と同じものを指していた。しかし現在は各稜線まわりの面の並び方が同一の多面体を指す。稜線まわりの多角形が１種類のみのものはプラトン立体で、２種類のものが準正多面体だ。３種類以上だと稜線まわりが同一にならないからだ。

　　　

■４■従って正確に言えば、アルキメデス立体13種類のうちで準正多面体は、正６面体と正８面体の相貫体の重畳部分であるベクトル平衡体と、正12面体と正20面体の相貫体の重畳部分である20・12面体の２種類しかない。一番上の図の左から３列目にある２種の立体だ。最左端にそれぞれの母形２立体がある。

■５■プラトン立体の切頭型と括られている５種は、プラトン立体の各頂点部分を、各辺が同じ長さで、各面が複数の合同な正多角形になるように切り落として行った形は、そのまま切頭４面体、切頭６面体、切頭８面体、切頭12面体、切頭20面体の５種になる。すなわち最初の図の左から２列目の５種である。

■６■この７つの立体は、プラトン立体を面点変換して互いに双対の立体になる途中に現れる。１回の面点変換を１つの回転して表現すると、180度の位置に２つの準正多面体、つまりベクトル平衡体と20・12面体が表れる。そしてそのまたさらに中間の90度の位置に、切頭型のアルキメデス立体５種が表れる。

　　　

■７■上の図最上段は左の正６面体から右の正８面体への面点変換の間の立体を示したものだ。２段目は右の正８面体から左の正６面体への面点変換を同様に示したものだ。この２段をと比べれば、３次元的な大きさを問題にしなければ、同じ形であることが分かるだろう。この２列の往復分720度で元に戻る。

■８■３段目の正20面体と正12面体も同様に、左から右への面点変換と、その反転でもある右から左への面点変換を表すのだが、片道360度分で往復720度分を表している。また最下段の正４面体のひっくり返った自分自身への面点変換はもう１つタイトだ。180度は正８面体で90度の位置には同じ切頭型が来る。

　　　　　　　　　多面体　　　　　構成面　　　辺 頂点

　　　　　　　　切頭４面体 　　正３角形 ４枚　18　12
　　　　　　　　　　　　　 　　正６角形 ４枚
　　　　　　　　切頭６面体　　 正３角形 ８枚　36　24
　　　　　　　　　　　　　 　　正８角形 ６枚
　　　　　　　　切頭８面体 　　正方形 　６枚　36　24
　　　　　　　　　　　　　 　　正６角形 ８枚
　　　　　　　　切頭12面体　　 正３角形 20枚　90　60
　　　　　　　　　　　　　 　　正10角形 12枚
　　　　　　　　切頭20面体 　　正５角形 12枚　90　60
　　　　　　　　　　　　　 　　正６角形 20枚
　　　　　　　　ベクトル平衡体 正３角形 ８枚　24　12
　　　　　　　　　　　　　　　 正方形 　６枚
　　　　　　　　20・12面体 　　正３角形 20枚　60　30
　　　　　　　　　　　　　　　 正５角形 12枚

■９■なお「ベクトル平衡体」という名はＢ.フラーが命名したものだ。立方体(正６面体)と正８面体の相貫体の重畳部分なので、「立方８面体」とも呼ばれる。また「切頭８面体」はそれだけで空間を最密パッキングすることができることに注目したケルビン卿ちなんで「ケルビン14面体」とも呼ばれている。

■10■ここまででアルキメデス立体13種の内の７種を見た。正６面体と８面体の系からベクトル平衡体ができ、正12面体と正20面体の系から20・12面体ができたが、残る６種も最初の画像を見る限り、この２つの系の延長線上にありそうなことが分かる。なお最右端の縦列は２種の左右鏡像で４つ描かれている。

(※)「切頭型」とはプラトン立体の角頂点を全ての線長が等しくなるように切り落とした形で、個人的にはこの名前が好きだが、切頭という名が斬首を連想させて物騒だからだろうか、穏やかに頂点を切るという意味で「切頂型」ともいう。