Ｄ-016　ケプラー・ポアンソ立体の要素と不足角

■１■凸でない多面体には、自己交叉するものとしないものとがある。ケプラー・ポアンソ立体はすべて自己交叉する多面体だ。正多面体は面と面が交叉しない凸立体だが、面と面が交叉することも許容すると、新たに４つの正多面体が想定できる。つまり小星型12面体・大星型12面体・大12面体・大20面体だ。

■２■ケプラーが発見した２種類の自己交叉する正多面体は，いづれも星型正多角形を面とする。ポアンソが発見した２種類はその双対多面体だ。面は凸正多角形だが、各頂点に集まる線と面の配置が多芒星的になっている。ケプラー立体とポアンソ立体は双対関係なので、面点変換すればこのような形になる。

■３■小星型12面体を構成する面は12枚の星型正５角形だ。内部まで貫通しているので，外からは見えない部分もある。各面の中心にある正５角形は凸状の５角錐の底面の位置にくるので外からは見えない。小星型12面体は自己交叉する多面体なので，面と面が新しい稜線を作ることなく相貫していると考える。

　　　

■４■大星型12面体も12枚の星型正５角形(５芒星)からなっている。各頂点には５芒星が３面背中合わせの形で３角錐を作り、その底面を合わせた形は正20面体になる。また外部頂点をつなぐと正12面体になる。これは小星型12面体の頂点が正20面体を作り、内部重畳部が正12面体となることとの双対でもある。

■５■私たちは可視物があるとその裏側や内部が見えない。頂角36度の２等辺３角形を60枚用いることで、内部が空っぽの見た目は小星型12面体及び大星型12面体と同じ立体を作ることができる。しかし外観は同じでも、内部で多重に自己交叉している小星型12面体及び大星型12面体とは、厳密には別物である。

■６■ポアンソ立体はどうだろう。大12面体は大きな５角形12枚が重畳しながら相互貫通している。また大20面体は大きな３角形20枚が重畳しながら相互貫通している。前者は２等辺３角形60枚から、また後者は合同うな鋭角２等辺３角形120枚と60枚の鈍角２等辺３角形から、外観が同じな立体を制作できる。

　　　

■７■さて凸多面体の不足角は全て720度だったが、ケプラー・ポアンソ立体の不足角はどうなっているのだろう。定義より底部の交点は頂点ではない。小星型12面体は１つの頂点に36度が５面集まっているので、不足角は180度。12頂点だから全部で(180×12＝)2160度で、凸多面体の720度のちょうど３倍だ。

■８■また大星型12面体は１つの頂点に36度が３面集まった形の108度だから、不足角は252度だ。頂点は20なので全部で(108×20＝)5040度になる。これは凸多面体720度の７倍に当たる。３と７だ。原初のミトラ神の３と７を連想させられる。また5040という数は、１〜10までの全てが約数になっている数だ。

■９■この凸多面体の不足角720度に対して小星型12面体の不足角は2160度で３倍、大星型12面体の不足角は5040度で７倍のことを、それぞれ密度が３倍、７倍と表現するらしい。同様に大12面体と大20面体は密度が３倍と７倍と表現されているので、不足角はそれぞれ2160度と5040度と考えて良いのだろう。



(※)画像は英語版wikipediaより借用加工。