Ｄ-016　プラトン立体とケプラー・ポアンソ立体

■１■２次元平面の多角形には１角形・２角形がなく３番目の３角形から始まっている。同様に多芒星には３芒星・４芒星がなく３番目の５芒星から始まっている。３次元空間のプラトン立体とケプラー・ポアンソ立体の関係は凸立体と凹立体で、この２次元における正多角形と正多芒星の関係に少し似ている。

■２■プラトン立体は、正４・６・８・12・20面体の５種類しか存在しない。しかしケプラーは正12面体と正20面体の辺を星型化することにより、1619年に小星型12面体と大星型12面体の２つを発見した。また約２世紀後の1809年に、ポアンソがその双対立体である大12面体と大20面体の２つを発見した(※)。

■３■この４立体をまとめて、星形正多面体またはケプラー・ポアンソ立体と呼ぶ。プラトン立体とケプラー・ポアンソ立体の最大の違いは、前者が凸多面体なのに対し後者は凹多面体であるということだ。なお正12面体と正20面体及びこのケプラー・ポアンソ立体は、みな黄金比を生む５重回転対称性を持つ。



■４■この９立体を戯れに10進法の１〜５まで及び６〜９までの数と対応させてみる発想は、深い意味は表せないにしてもさほど悪趣味ではなかろう。なお数字の０に当たるものには球体を据えてみた。プラトン立体の定義を緩めて、面が同一ではなく複数の正多角形でも良いアルキメデス立体は13種類あった。

■５■この双対立体のカタラン立体も13種類あるので、合計すると26種類になる。また全ての面が正３角形の凸多面体のデルタ多面体は全部で８種類（３種類はプラトン立体）ある。さらに面が全て同一の菱形のみで構成されている等面菱形多面体は４種類存在する。星型多面体についてはここでは言及しない。



■６■ジョンソン立体とは、全ての面が正多角形で全ての辺の長さが等しい凸多面体のうちでプラトン立体・アルキメデス立体・アルキメデスの角柱・アルキメデスの反角柱以外のことを言う。ジョンソン立体は全部で92種類ある。92という数はそのまま自然界に存在する最大の元素ウランの原子番号でもある。

■７■また92は５つのプラトン立体から正４面体を除いた４立体の面の合計46と点の合計46の和でもある。ベクトル平衡体の最密パッキング球の第３層の個数は92個だ。現代の日本人が｢50音図｣で音が区別できるのは全部で46音（ン音を含む)であり、これを表す文字は平仮名と片仮名を合わせて92文字になる。



■８■母と父双方から受け継いだ対の染色体を「相同染色体」と呼ぶ。細胞は減数分裂の前にＤＮＡ複製を行って２倍化する。減数分裂の第１分裂ではこの相同染色体同士が近接し、４本の染色分体から成る「２価染色体」となる。続いて第２分裂が行われ、元の細胞の半分のＤＮＡを含む４個の娘細胞になる。

■９■２価染色体では相同染色体同士で一部の配列を取り替える乗換え（相同組換え）が起きる。この減数分裂は遺伝的多様性に貢献していると考えられる。乗換えでは相同染色体が交叉した部位で「キアズマ」と呼ばれる構造が形成される。このプロセスの中で人間の染色体の数は23・46・92を行き来する。


（※）『日本語バイオポータルサイトJabion』( http://www.bioportal.jp/ ）より借用・加工。

(※)1811年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーが星型正多面体は全部でこの４種類しかないことを証明した。